Великая Теорема Ферма
Шрифт:
4. Существует число 0, такое, что для любого числа n
5. Существует число 1, такое, что для любого числа n
6. Для любого числа n существует другое число k, такое, что
7. Для любых чисел m, n
Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:
если m + k = n + k, то m = n.
Прежде всего, пусть
m + k = n + k.
Аксиома 6 гарантирует, что существует число l, такое, что k+l=0, поэтому
(m + k) + l = (n + k) + l.
Но по аксиоме 2
m + (k + l) = n + (k + l).
Принимая во внимание, что k+l=0, получаем:
m + 0 = n + 0.
Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:
m = n.
Приложение 9. Теория игр и труэль
Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех — без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив). Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел?
Проанализируем выбор цели, который предстоит сделать мистеру Блэку. Во-первых, если мистер Блэк стреляет в мистера Грея и попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Уайту. У мистера Уайта останется единственный противник — мистер Блэк, а поскольку мистер Уайт стреляет без промаха, то мистер Блэк может считать себя покойником.
Для мистера Блэка лучше, если он прицелится в мистера Уайта. Если мистер Блэк попадает в цель, то право следующего выстрела перейдет к мистеру Грею. Мистер
На первый взгляд кажется, что мистеру Блэку следует остановить свой выбор на втором варианте труэли. Однако существует третий, еще лучший выбор. Мистер Блэк может выстрелить в воздух. Право следующего выстрела переходит к мистеру Грею, который стреляет в мистера Уайта как более опасного оппонента. Если мистер Уайт остается в живых, то он стреляет в мистера Грея как более опасного противника. Стреляя в воздух, мистер Блэк предоставляет мистеру Грею исключить мистера Уайта.
Третий вариант — наилучшая стратегия для мистера Блэка. Мистер Грей или мистер Уайт в конечном счете погибает, после чего мистер Блэк стреляет в того из них, кто остается жив. Выстрелом в воздух мистер Блэк изменяет ситуацию: вместо первого выстрела в труэли он производит первый выстрел в дуэли.
Приложение 10. Пример доказательства по индукции
В математике важно иметь точные формулы, позволяющие вычислять сумму различных последовательностей чисел. В данном случае мы хотим вывести формулу, дающую сумму первых n натуральных чисел.
Например, «сумма» всего лишь одного первого натурального числа 1 равна 1; сумма двух первых натуральных чисел 1+2 равна 3, сумма первых трех натуральных чисел 1+2+3 равна 6, сумма первых четырех натуральных чисел 1+2+3+4 равна 10 и т. д.
Возможно, что требуемая формула имеет вид
(n) = 1/2 ·n(n + 1).
Иначе говоря, если требуется найти сумму n первых натуральных чисел, то нужно просто подставить число n в приведенную выше формулу и получить ответ.
Доказательство по индукции позволяет убедиться в том, что эта формула дает правильный ответ при любом натуральном числе от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что формула работает в первом случае, при n=1. В этом нетрудно убедиться непосредственно, так как мы знаем, что сумма, состоящая из одного-единственного слагаемого, числа 1, равна 1. Подставляя n=1 в нашу формулу убеждаемся в том, что она дает правильный результат:
(1) = 1/2 ·1·(1 + 1).
Следующий шаг в доказательстве по индукции заключается в том, чтобы показать, что если формула верна при каком-то значении n, то она должна быть верна и при n+1. Если
(n) = 1/2 ·n(n + 1).
то
(n + 1) = (n) + (n + 1) = 1/2 ·n(n + 1) + (n + 1).
После преобразования членов в правой части получаем
(n + 1) = 1/2 ·(n + 1)[(n + 1) + 1].
Важно отметить, что последняя формула «устроена» точно так же, как исходная формула с той лишь разницей, что там, где в исходной формуле стоит n, в новой формуле стоит n+1. Иначе говоря, если формула верна для n, то она должна быть верна и для n+1. Доказательство по индукции завершено.