Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
Вначале был знак.
Давид Гильберт, «Новые основания математики» (1922)
В учебнике Гильберта и Аккермана были сформулированы некоторые металогические вопросы о свойствах исчисления, ими разработанного. Они перекликались, в частности, с доказательством (в 1926 году предложенным Бернайсом) того, что элементарная логика, или логика пропозиций, является верной (любая доказуемая формула верна) и полной (любая логическая истина, в свою очередь, доказуема), и к этому же результату в 1922 году независимо пришел Эмиль Пост (1897- 1954). Авторы задавались вопросом — является ли таковой логика первого порядка? — хотя признавали, что ответ не найден. Ровно через год, в 1929 году, молодой австрийский логик Курт Гёдель доказал полноту логики первого порядка в своей докторской диссертации, написанной под руководством Ханса Хана (1879-1934), хотя опубликовал ее он лишь в 1930 году Эта логика была верной (все
Программа Гильберта неожиданно обрела успех: любая логически справедливая формула, то есть истинная в любой возможной интерпретации, выводима с помощью описанных исчислений. Но что произойдет, если к этому чистому исчислению предикатов добавить аксиомы и правила, которые относились бы к арифметике или к теории множеств? Останется ли оно верным и непротиворечивым? И полным?
На втором этапе в объект математического изучения следовало превратить само понятие доказательства, чтобы таким образом доказать непротиворечивость арифметики и искоренить все сомнения. В математике нет места полуправде. Для Гильберта математик занимается понятием математического доказательства, точно так же как физик проверяет работу своих приборов или философ критически осмысливает свои же аргументы. Разработка «теории доказательства» позволит рассматривать доказательства в качестве результата чистых сочетаний символов, согласно предписанным формальным правилам. В этих условиях было достаточно доказать, что никакое формальное выведение, никакое сочетание символов не может привести к формуле 0/=0 (что является противоречием). Так была бы установлена непротиворечивость арифметики. Достаточно доказать, что есть одна недоказуемая формула, поскольку если бы все формулы были доказуемы, мы могли бы вывести противоречие (доказав пропозицию и обратную ей), и система оказалась бы противоречивой. И наоборот, если бы система была противоречивой, поскольку из противоречия следует что угодно (ex contradictione sequitur quodlibet, как уверяли схоластики), мы могли бы доказать любую формулу (формула «если 0/=0, то Р» всегда истинна, справедлива, поскольку таковой не является предпосылка).
В 1920 годы Гильберт ввел идею о том, что его «теория доказательства» подходит к вопросу непротиворечивости на двух уровнях рассмотрения. С одной стороны, это математический уровень, как представлено в рамках формальной системы. С другой стороны, это метаматематический, дискурсивный уровень, на котором говорится об аксиоматизированной математике. На данном уровне следовало доказать непротиворечивость посредством ряда техник, которые изучали бы формальную систему извне, отключив ее от любого числового значения или значения, связанного с бесконечностью, просто в качестве конечных цепочек первичных знаков, на основе которых можно образовать формулы и доказательства в соответствии с некоторыми предопределенными правилами. Пропозиции, которые относятся к этому формальному скелету, к этой арифметике, лишенной значения, — это метаматематические пропозиции, которые формулируются не на языке объекта, а на метаязыке. Это как если бы на уроке английского использовался испанский язык, чтобы показать оттенки какого-нибудь англосаксонского слова. Вопрос о непротиворечивости в математике или вопрос, является ли формула 0/=0 доказуемой, — по сути, то же самое, что спрашивать, является ли определенная шахматная позиция правомерной, то есть можно ли достичь ее из исходного положения партии и по правилам передвижения фигур. Чтобы на него ответить, мы не играем в шахматы, а размышляем о собственно шахматах.
Сомневайся в данных, пока данные не оставят места сомнению.
Анри Пуанкаре
Но Гильберт настаивал на том, что математическое доказательство непротиворечивости арифметики должно удовлетворить как классических математиков, так и интуиционистов, то есть оно должно проводиться финитными, конструктивными методами, которые не требуют вмешательства бесконечности. В конце жизни Пуанкаре подчеркивал, что если для доказательства непротиворечивости арифметики — даже в математическом плане — воспользоваться принципом индукции, то есть пятой аксиомой Пеано, получится порочный круг: попытка доказать связность арифметики с помощью арифметического принципа. Нужно было доказать это посредством самоочевидных рассуждений, что сами математические методы, даже когда они предполагают присутствие актуальной бесконечности, справедливы, то есть не позволяют вывести противоречие. Более того, Гильберт хотел доказать не только непротиворечивость математики, но также ее полноту. Это был другой нерешенный вопрос из его лекции 1900 года: возможность решения любого математического вопроса.
Гильберту и его соратникам удалось доказать непротиворечивость некоторых простых формальных систем. Так, в 1922 году Гильберт сконцентрировался на элементарной части арифметики и, изучая вид доказуемых формул, сделал вывод, что формула 0/=0 — не из их числа. Это доказательство позже было развито Аккерманом в его докторской диссертации (датированной 1925 годом и написанной под руководством Гильберта), а также в 1927 году элегантно
ГЁДЕЛЬ: БУРИ И ШКВАЛЫ
К 1930 году первый пункт программы Гильберта в целом был выполнен: логика, теория множеств и арифметика аксиоматизированы. Но все еще оставался вопрос об их непротиворечивости и полноте.
Гильберт вышел на пенсию, когда ему исполнилось 68 лет. В связи с получением звания почетного гражданина Кёнигсберга заслуженный профессор Гёттингенского университета произнес речь в своем родном городе. В ней он вновь отстаивал идею, что в математике нет неразрешимых проблем. Записывая обращение для местного радио, он четко произнес последнюю фразу своей речи: «Мы должны знать. Мы будем знать» и улыбнулся. Запись сохранилась, и если прислушаться, в конце можно уловить смех Гильберта. Это было 8 сентября 1930 года.
По иронии судьбы, за три дня до этого в Кёнигсберге состоялась конференция по эпистемологии точных наук. Цель встречи состояла в том, чтобы определить, на какой стадии находится разрешение кризиса оснований математики. Выступали представители каждого из связанных с основаниями течений. От логицизма — Рудольф Карнап (1891-1970), изложивший концепцию математики, которую сформулировал в Венском кружке: математические теоремы как тавтологии, логические истины. От интуиционизма — Аренд Гейтинг, выступавший за исключение бесконечности из математики. И от формализма — Джон фон Нейман, сторонник Гильберта. А 6 сентября слово взял 24-летний австрийский логик Курт Гёдель и доложил о недавно полученных им результатах: «Я могу привести примеры истинных арифметических пропозиций, недоказуемых в формальной системе классической математики». Несмотря на важность этого заявления, оно осталось незамеченным. И только фон Нейман был в недоумении. Несмотря на то что он всегда мечтал доказать непротиворечивость всей математики посредством финитных методов, в его голову уже закралось сомнение, что на самом деле это невозможно, и краткое выступление застенчивого юноши в круглых очках показалось его событием невероятного значения. Это был смертный приговор красивому девизу Гильберта. Надежда, которая теплилась в душе немецкого математика более 30 лет, должна была окончательно угаснуть. Математика больше никогда не будет надежной. Когда в 1931 году были опубликованы теоремы Гёделя о неполноте, в программе Гильберта произошло короткое замыкание. Чтобы объяснить, почему это произошло, нам нужно обратиться к математической логике.
С эпохи Аристотеля, не забывая о вкладе схоластиков, логика задумывалась как учение о рассуждении, которое никогда не происходит в пустоте, а всегда в рамках какого-то языка. С течением времени математики обращали все большее внимание на логику языков, на которых они изъясняются, чтобы определить их возможности. Логика научила математиков тому, что в языке существует два основных понятия: одно — семантического характера, понятие истины, другое — синтаксического характера, понятие доказательства. Сложность заключалась в том, чтобы определить радиус их действия: совпадают ли эти два понятия экстенсионально, пусть они сильно различаются интенсионально. Другими словами, является ли все доказуемое истинным (правильность) и все истинное — доказуемым {полнота). В целом языку, богатому в плане выражения, соответствует логика, бедная на интересные свойства. Так, логика языков первого порядка является правильной и полной, но математику ее обычно не хватает в ежедневной работе (когда нужно количественно оценить свойства, а не только объекты).
Но не следует ожидать, что логика языков второго порядка или выше будет полной. Так что одно из двух: либо мы занимаемся математикой на маловыразительном языке, логика которого правильна и полна, либо мы формализуем наши математические рассуждения на выразительном языке, но логика, лежащая в его основании, в лучшем случае правильна (мы можем доказывать лишь истины), но не полна (мы не можем доказать все истины).
Гёдель — величайший логик со времен Аристотеля.
Джон фон Нейман о Гёделе
Ограничиваясь языком первого порядка (где можно давать количественную оценку только объектам), если мы будем толковать объекты как числа, мы едва ли уйдем дальше элементарной арифметики (например, теорема, утверждающая, что любое множество натуральных чисел обладает минимальным невыразимым элементом, поскольку нам придется давать количественную оценку множествам чисел) и никогда не доберемся до анализа. Проблема в том, что функции или числовые отношения не являются числами. Однако эта трудность испаряется, если мы рассматриваем множества, поскольку функции и отношения между множествами — это, в свою очередь, другие множества: я-ные собрания множеств — это множества.