Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
Тезис Чёрча — Тьюринга
Для начала Тьюринг сформулировал, что означает думать как машина, механически. Его первая победа заключалась в определении понятия вычислимой функции: это функция, которую способна вычислить машина Тьюринга — вид компьютера без ограничений в пространстве или времени. Одновременно, по другую сторону Атлантического океана, Чёрч пришел к аналогичным выводам, разработав формальную систему, которую назвал лямбда-исчислением. С тех пор под названием тезиса Чёрча — Тьюринга известен постулат, утверждающий, что любое альтернативное определение вычислимости равносильно определению, данному Тьюрингом в терминах его машин. Прибегнув к изобретательному варианту диагонального аргумента
Исчислимые функции, как и машины Тьюринга, имеются в счетном количестве, то есть они как иголки в стоге сена всех функций.
Наконец, рассмотрев проблему остановки, он предложил отрицательный ответ на вопрос Гильберта — Entscheidungsproblem: если бы существовала эта процедура, она также была бы способна определить за конечное время, останавливается любая машина Тьюринга через конечное число шагов или входит в бесконечную петлю, когда на входе вводятся некоторые данные. Но последнее, как он доказал, невозможно. Не существует алгоритма, способного получить на входе логическое или математическое высказывание и выдать на выходе: «теорема» или «не теорема» (хотя свойство выводимости действительно разрешимо в ограниченной логике пропозиций).
Сланцевая статуя и портрет Алана Тьюринга в музее Блетчли-Парка.
Это означает, что теории первого порядка не могут контролировать кардинальное число своих моделей. Так, например, если сформулировать аксиомы арифметики Пеано в логике второго порядка (неполной), то они категориальны (то есть все их возможные модели изоморфны, имеют одно и то же кардинальное число), но если сформулировать их в логике первого порядка (полной), то мы расплачиваемся тем, что теряем категориальность. Появятся стандартная и нестандартная модели натуральных чисел. Скупость логика имеет свою цену.
Вскоре Гёдель предположил, что континуум-гипотеза Кантора, которую в 1925 году Гильберт считал почти доказанной на основе выведенной из его теории доказательства изящной техники, была примером неразрешимого высказывания в привычной теории множеств. В 1938 году, ограничиваясь подмножеством конструктивных множеств, Гёдель доказал: невозможно доказать, что она ложная в ZFC. И обратно, в 1963 году Пол Коэн (1934-2007), использовав метод форсинга, доказал: также невозможно доказать, что она истина в ZFC. Гёдель и Коэн построили модели, в которых гипотеза истинна и ложна соответственно. Так что ни утверждение, ни отрицание континуум-гипотезы недоказуемо. То же самое происходит с аксиомой выбора, непротиворечивость и независимость которой относительно остальных аксиом также доказали оба математика. Следовательно, статус аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств аналогичен статусу аксиомы параллельных прямых в геометрии. Рай Кантора — не единственный доступный рай теории множеств.
Программа Гильберта выбыла с поля боя после двух ударов, полученных от Гёделя. Как первая, так и вторая проблемы знаменитого списка из 23 проблем Гильберта в итоге оказались решены, хотя и способом, который в 1900 году было трудно вообразить. В математике истинное не совпадает с доказуемым. Аксиом и правил выведения, которые Гильберт поставил во главу угла, было недостаточно, чтобы вывести все математические теоремы, при этом можно представить себе пропозиции истинные, но невыводимые в формальной системе классической математики. «Арифметика непротиворечива» — вот пример этого типа неразрешимых пропозиций. Гильберт, узнав о теоремах Гёделя спустя несколько дней (благодаря Бернайсу), попытался спасти часть своей программы, позволив использование нефинитных методов для доказательства непротиворечивости математики. Но эти методы совсем не очевидны. Гильберт и его команда походили на пастухов, которые построили убежище, чтобы защитить стадо от волков, но не могли быть уверены в том, что внутри нет ни одного волка.
БАЛАНС: ТРЕЩИНЫ ФОРМАЛИЗМА
Несмотря на то что скептические сомнения так и не были устранены, классическая математика
Часто говорят, что платоническая позиция лучше всего характеризует отношение математика к сути этой дисциплины. Математик верит в реальность математических объектов. Но, конечно, когда философы начинают одолевать его своими вопросами, он бежит и прячется под юбкой формализма и заявляет: «Математика — всего лишь сочетание знаков, лишенных значения, красивая игра формул, еще интереснее, чем шахматы». Но при этом ее отношение к их реальному значению скрыто сумерками: если нужна точность, надо исключить любое значение; но если нужно, чтобы математика имела смысл, нужно отказаться от точности. Для строгого формалиста любая математическая теория — всего лишь сочетание знаков, не имеющих значения, как иероглиф, лишенный смысла. Большинство математиков являются платонистами по будням, пока работают с теоремами, пропозициями и выводами, и становятся формалистами по выходным, когда оставляют работу и беседуют с философами.
Хотя ясно, что Гильберт был формалистом в рамках области оснований математики, нельзя утверждать, что он оставался им в отношении общей концепции науки. Для немецкого математика она не имеет ничего общего с произвольностью игры. Здесь скорее закрытая подкрепленная внутренней необходимостью концептуальная система, в которой новым идеям всегда соответствуют новые знаки и манипуляции.
В итоге формализм оказался самым сильным течением, хотя его стремление к надежной математике, расцениваемой как наука о формальных системах, разбилось о теоремы Гёделя. И ошибка представителей этого течения, как и других, заключается в предположении, что науки базируются на своих собственных основаниях.
Во время кризиса оснований не было речи об опасности обрушения многовекового здания математики. Довольно распространенный миф заключается в том, что логико-формальные решения поддержали руины, потому что математика продолжала развиваться и никто не заметил трещин. Но все-таки она переживала золотой век с его блестящими достижениями (теория меры, функциональный анализ, топология...). А неудачно названный кризис оснований, который намечался только в области логики и теории множеств, был скорее кризисом методов, который обновил подход к математике.
Гильберт был чемпионом по аксиоматике, сторонником аксиоматического метода не только в математике, но и в науке в целом. Под его покровительством этот метод распространился от корней до кроны математического дерева. Но, оставив в стороне брешь, обнаруженную Гёделем, следует сказать, что аксиоматизм Гильберта не сочетается с рутиной математика — с тем, с чем он сталкивается постоянно.
Если мы посмотрим на математика за работой, поскольку статьи — всего лишь продукты его деятельности, то удивимся, сколько неформальных рассуждений он выдает. Что доказывают ограничительные теоремы Гёделя или Тарского для математика в действии? Что математика — слишком крупный кролик для того, чтобы вытащить его из столь маленького цилиндра аксиоматической системы, каким бы ловким ни был этот фокусник Гильберт. Более того, аксиоматика возможна, только если ей предшествовала фаза работы с моделью, то есть аксиомы чисел могут быть сформулированы, если уже есть некоторое представление о том объекте, с которым мы имеем дело. Генетический метод предшествует аксиоматическому, и замена первого вторым предполагает похищение честно заработанного (аксиоматика немедленно присваивает себе все построенное).
Могила Гильберта в Гёттингене. У основания памятника высечена знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать».
Альфред Тарский и Курт Гёдель в Вене в 1935 году. Своими ограничительными теоремами оба поспособствовали разрушению возведенной Г ильбертом конструкции математики.
Давид Гильберт, 1930-е годы.