Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
Гильберт бросил вызов и выиграл у тех, кто настаивал, будто математические доказательства должны базироваться на методе, рассматривающем сущности, наличие которых нужно доказать. Он доказал, что предположение о ложности гипотезы Гордана («существует базис инвариантов») ведет к противоречию. Этого было достаточно. Много лет спустя Гильберт объяснял своим студентам разницу между конструктивными доказательствами и теми, которые таковыми не являются (экзистенциальными), подчеркивая, что в аудитории есть кто-то, у кого на голове волос меньше, чем у других (никто из присутствующих не был абсолютно лысым), хотя мы не располагаем никаким способом выявить этого человека.
Это не математика! Это теология!
Гордан после
На кон было поставлено не только будущее теории инвариантов (область исследования, которую Гильберт практически закрыл), но и нечто большее — противостояние двух подходов к математике: конструктивного — характерного для XIX века — и экзистенциального, свойственного XX столетию (когда слово «существовать» имело лишь одно значение: быть лишенным противоречия). Экзистенциальный подход Гильберта в дальнейшем обеспечил ему многие победы и многие споры.
Наконец, в 1892 году усилия Гильберта увенчались успехом, и он получил должность ординарного профессора Кёнигсбергского университета. Несмотря на то что в итоге он стал блестящим преподавателем, в начале его лекции едва привлекали студентов.
СОВРЕМЕННАЯ АЛГЕБРА И NULLSTELLENSATZ
Вавилоняне, египтяне и греки решали уравнения первой и второй степени, используя различные алгебраические техники. Следы греческой геометрической алгебры заметны по выражениям вроде «квадрат» и «куб» для второй и третьей степеней: «а в квадрате» — это квадрат со стороной а, а «а в кубе» — это куб с ребром а. Введение нового символьного аппарата (Диофант, Аль-Хорезми, Виет) определило настоящий прорыв в развитии алгебры и ее последующее отделение.
В эпоху Возрождения Тарталья (по- итальянски «заика») вывел формулу для решения уравнений третьей степени, но предпочел держать ее в секрете. Астролог и математик Джероламо Кардано убедил его открыть ее и затем опубликовал, выдавав за свою. Лодовико Феррари, бывший секретарь Кардано, получил другую формулу для решения уравнений четвертой степени, однако решение в радикалах полиномиального уравнения пятой степени им не далось. Через 300 лет Абель доказал, что это невозможно.
Гаусс в возрасте 52 лет. Литография из журнала «Астрономические новости», 1828 год.
Гаусс и основная теорема алгебры
Чтобы больше узнать о рождении современной алгебры, следует обратиться к докторской диссертации Гаусса, которую тот защитил в 1797 году. Гениальный Гаусс доказал то, что сегодня известно как основная теорема алгебры: любое полиномиальное уравнение степени п имеет ровно п решений среди комплексных чисел. Хотя этот результат допускал Декарт (различая действительные и мнимые корни), а также со множеством ошибок доказал Д’Аламбер, только доказательство Гаусса было исчерпывающим. Его работа радикально изменила облик алгебры. Именно этот долгий путь Гильберта сквозь теорию инвариантов определил Nullstellensatz, или теорему о нулях, — мощный результат, обобщивший основную теорему алгебры для того случая, когда вместо уравнения имеется система алгебраических уравнений.
Гильберт не впадал в отчаяние и расценивал этот период как процесс медленного, но стабильного созревания. Тогда же он женился на Кёте Ерош (его любимой партнерше по танцам), с которой был знаком с детства. Через год родился их единственный сын Франц, у которого еще в детстве проявилось серьезное умственное заболевание. Когда у юноши диагностировали шизофрению, отец поместил его в лечебницу для душевнобольных, где тот провел значительную часть своей жизни. С тех пор Гильберт держался так, будто у него никогда не было сына.
В 1895 году он кардинально изменил свою жизнь. В конфиденциальном письме его уведомили о назначении — по рекомендации Клейна — профессором престижного Гёттингенского университета, где до того работали два таких колосса математики, как Гаусс и Риман. Его не пришлось упрашивать, он переехал и никогда не покидал Гёттинген.
Между тем с теории инвариантов Гильберт уже переключился на теорию чисел — типично немецкую дисциплину с тех пор, как Гаусс опубликовал «Арифметические исследования» (1801) и назвал ее царицей математики. Немецкое математическое общество (основанное в 1890 году под председательством Георга Кантора (1845-1918)) поручило Гильберту и Минковскому разработать отчет о состоянии вопроса. Минковский сразу отказался, сославшись на занятость, зато Гильберт сделал намного больше, чем от него ожидали. Результатом была жемчужина математической литературы, ставшая в дальнейшем классикой в этой области знания, — Der Zahlbericht («Отчет о числах»), датированная 10 апреля 1897 года. В этой работе Гильберт объединил все имеющиеся данные, организовав их с новой точки зрения, переписал формулировки и доказательства. Он не только перераспределил детали головоломки, которую представляла собой алгебраическая теория чисел, но и заполнил лакуны оригинальными исследованиями. В предисловии к отчету он писал:
«Теория чисел — это здание редкой красоты и гармонии. [...] Целью данного отчета является описание с единой точки зрения результатов теории чисел с ее доказательствами, с ее логическим развитием, что должно приблизить тот день, когда достижения классиков в области теории чисел станут общим достоянием всех математиков».
ПЕРВАЯ НАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ
Древние вавилонская и египетская цивилизации имели значительные знания в области геометрии. Но их, если можно так выразиться, «математика» не вышла за пределы технической стадии, основываясь на сборниках инструкций для решения повседневных проблем, которые были связаны с трудом землемеров и в которых едва прослеживалось понятие доказательства. Геометрические теоремы Фалеса Милетского (ок. 624 — ок. 546 до н.э.) заставили бы улыбнуться египетских землемеров ввиду их простоты и бесполезности («Диаметр делит круг на две равные части»). Однако мы говорим о первых теоремах, которые являются истинными спустя более чем 2000 лет. Фалесу удалось измерить высоту пирамиды Хеопса с использованием простого правила пропорциональности.
Пифагору также удалось установить логическую связь с наследием вавилонян и египтян. Под руководством Платона Афинская академия систематизировала пифагорейскую математику, особенно заметен вклад Теэтета (ок. 417 — ок. 369 до н.э.) и Евдокса (ок. 390 — ок. 337 до н.э.). Первому приписывают теорему, гласящую, что существует только пять правильных многогранников, пять Платоновых тел. Тогда же геометров того времени завораживали три классические проблемы: трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба. Перейдя из Афинской академии в Александрийский мусейон, мы встретились бы с Евклидом, работа которого (наряду с работой Аполлония и Архимеда) завершает золотую эпоху греческой геометрии.
Идеализированный портрет Евклида. Юстус ван Гент, 1474 год.
«Отчет о числах» перенес Гильберта в авангард европейской математики. Конечно, анализируя его раннюю математическую деятельность, можно подумать, будто это отличный исследователь, но в узкой сфере знаний. Почти невозможно было предвидеть дальнейшее восхождение Гильберта на вершину математического Олимпа и общую убежденность в том, что, как и Пуанкаре, он является одним из последних математиков-универсалов, ориентирующихся во всех областях науки, включая его следующее завоевание — геометрию. Но чтобы показать вклад Гильберта в этой области, нужно вспомнить об исторической подоплеке, о том толчке, который XIX век обеспечил геометрии, о том, как открытие неевклидовых геометрий изменило аксиоматический метод.