Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

Илюша посмотрел на него. Командор стоял подбоченясь, высоко задрав голову. Он мгновенно исцелился от своего отчаяния и обрел снова прекрасное настроение.

— Какая прелесть! — сказал он. — Вот какой замечательный юноша! И как остроумно — назвать это мое убогое, нескладное колесо… циклом! И моя бедная речь… О чем я там писал? Ах, вспомнил! О способах произношения цикловидных слов. Как раз!

Илюша беспомощно оглянулся на Радикса, но, кроме равнодушия, на его личике абсолютно ничего нельзя было прочесть.

А доктор продолжал:

— В жизнь мою не слыхал я ничего столь ученого. А скажите, великий победитель Бушмейстера, к чему вы изволили произнести эти таинственные

слова? Даже в допущении, что вы правы, что из этого следует?

Но Илюша стоял красный как рак и молчал как рыба.

Увы, он не знал, что отвечать! Перестановка была, конечно, циклическая, это верно, но почему? Об этом-то Илюша не мог ничего сказать. И, в общем, получилось, что Уникурсал Уникурсалыч прав: произнести эти слова Илюша сумел, а объяснить, что хотел сказать, не мог. Мальчик решил не сдаваться. Поэтому стал снова рассматривать все свои умножения: на

— 151 —

два, на три, на четыре, на пять, на шесть… Так. А на семь? Нет, на семь он не множил. По-видимому, Кандидат Тупиковых Наук не заставлял его множить на семь. А ну-ка попробуем! Илюша умножил 142 857 на семь и получил 999 999.

«Вот странная история! — подумал он. — Все цифры давали один и тот же фокус, а если на семь помножить, получается совсем не то…»

Илюша снова начал внимательно осматривать результаты своих умножений и обратил внимание на то, что если написать число два раза подряд, то есть 142 857142 857, то при умножении на семь получится не шесть, а уже двенадцать девяток, и, следовательно, повторяя этот порядок цифр, можно получить умножением на семь любое число девяток… Что же это значит? Илюша обратил внимание на то, что получалось при умножении на два и на одиннадцать. Мальчик вдруг храбро схватил мел и написал:

1571427 Х 2 ^_______ 3142854

В это время Радикс пробормотал себе под нос очень неразборчиво: «Слюнки капали с усов…» Тут Илюша воодушевился и начал делить единицу на семь. Как он и ожидал, получил в результате 0,142857142857… При этом он заметил, что остатки шли следующим образом: 3, затем 2, потом 6, вслед за этим 4 и, наконец, 5, что и объяснило всю загадку командорского колеса. И он написал рядом с делением еще столбик цифр:

— 152 —

Илюша обернулся и увидел, что Уникурсал Уникурсалыч смотрит так, будто потерял всякий интерес к проблеме колеса.

— Это одна седьмая, — сказал Илюша, — вот и все. Цикл в данном случае — это период дроби. А множители вы называли в том порядке, в котором идут остатки при делении, чтобы ваше колесо после каждого умножения поворачивалось как раз на одну цифру.

— Одна седьмая! Одна седьмая! — сердито повторил Уникурсал Уникурсалыч. — А что, если я возьму колесообразное число и разделю его пополам, по три цифры в каждой половинке. У меня будут теперь два числа — 142 и 857. Если я их сложу, то получу 999. Могу разбить и на три: 14, потом 28 и 57. Сложу и получаю снова 99. А это что означает?

Илюша внимательно посмотрел на свою табличку и ответил:

— Если я возьму 0,142, то это будет одна седьмая с точностью до одной тысячной, а если возьму 0,857, это будет шесть седьмых с той же точностью. Если их сложить, будет семь седьмых, то есть единица. Так как мои дроби не очень точные, то я получаю вместо единицы 0,999. То же и с тремя числами.

— А зачем ты множил 1 571427 на два?- спросил Радикс.

— Потому что мне показалось, что это похоже на половину архимедова числа. Я перемножил, получил 3,14 с лишним, и тут-то я убедился, что это одна седьмая [14] .

14

В это время кто-то сказал Илюше на ухо: «Достань себе книжку Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры» и почитай там рассказ двадцать третий о периодических десятичных дробях. Он занимает всего восемнадцать страниц. Если тебе покажется мало, бери «Теорию чисел» И. В. Арнольда. Только там побольше восемнадцати страниц!»

Тут Илюша заметил, что кто-то с ним раскланялся и сел на какую-то длинную палку верхом (а на палке написано: «Ось большая эллиптическая») и со свистом улетел в неизвестность…

Между прочим, в «Архимедовом лете» имеется рассказ о сравнениях (AЛ-I, XI) и указания на систему вычетов, то есть остатков при делении на некоторое число. В данном случае возникает вопрос о степенных вычетах, или остатках при делении последовательных степеней числа 10 на знаменатель данной дроби.

— 153 —

— А кстати, скажи, умеешь ли ты сокращать дроби? Сократи шестнадцать шестьдесят четвертых.

Илюша пожал плечами, написал дробь, сократил ее на четыре, потом еще раз на четыре. Вышла одна четвертая.

— Какая невероятная канитель! — сказал с отвращением командор. — Выспаться можно, покуда ты тут возился. Вот, как я сокращаю.

Командор взял мел и написал:

16 / 64 =

… и вычеркнул шестерки…

= 1 / 4

— Это случайно так у вас вышло, — ответил Илюша.

— Как это случайно? — возопил командор. — Пожалуйста!

И он написал следующее равенство:

19 / 95 =

… а теперь девятки …

= 1 / 5

А затем еще и еще:

29 / 95 = 2 / 5; 49 / 98 = 4 /8

— А тут уж не вышло, — сказал Илюша. — Еще можно сократить.

— Неважно! — воскликнул Командор Ордена Семи Мостов. — Это не может опорочить самый принцип моего способа. Например, до сих пор ты полагал, что число «сорок девять» можно разбить лишь на две семерки, а я доказал последним примером, что это просто предрассудок.

— Семерки — это множители, — ответил Илюша, — а девятка — одно из слагаемых.

— Так вот в том-то и дело! Ты должен слушать и внимать, а не тараторить как сорока.

Илюша совсем уж готов был ему ответить, что если кто-нибудь и тараторит, то, во всяком случае, не он, но решил, что лучше не стоит злить эту ехидную личность, и промолчал.

— Я уверен, — продолжал Магистр Деревьев, — что ты вполне способен оценить необыкновенные преимущества моего способа, ибо ты только что доказал мне поразительную

— 154 —

быстроту твоего ума, сразу заметив, что дробь четыре восьмых относится к классу сокращаемых дробей. Подумайте только, какая ученость в столь нежном возрасте! Догадаться самому, безо всякой посторонней помощи, что восемь делится на четыре! Великолепно! Мы выхлопочем тебе орден не Семи Мостов, а Семидесяти Семи Слонов и Пятидесяти Пяти Ослов! Я потом расскажу тебе историю этого необыкновенного ордена, который довольно легко получить, но от которого потом не так-то просто отвязаться…