Введение в логику и научный метод

Коэн Моррис Р.

Читателю следует отметить, что можно провести важное различие между отношением антецедента условного суждения к его консеквенту (как в суждении а ), с одной стороны, и отношением между посылками обоснованного аргумента к заключению (как в суждении d ) – с другой. Для установления отношения антецедента к консеквенту нужно предоставить материальное (или фактическое) основание, тогда как для установления отношения между посылками и заключением такое основание неуместно и невозможно, поскольку такое отношение имеет место, только когда один из терминов этого отношения логически или аналитически содержится в другом. Однако у этих двух отношений есть и общая черта, заключающаяся

в том, что ни то, ни другое не имеет места в случае истинности антецедента или посылки и ложности консеквента или заключения. Именно эта общая черта обозначается связкой «если… то» или знаком «». Читателю при этом следует помнить, что две вещи, схожие в одном смысле, могут быть различными в другом, равно как и две вещи, отличные друг от друга в одном смысле, могут оказаться в чем-то другом схожими.

Простые суждения

Разложение сложных суждений на составляющие их суждения явным образом относится к логике. Однако разложение предложения на его словесные элементы является задачей грамматики. Логически суждения предшествуют словам в том смысле, что суждения не производятся путем объединения слов, тогда как значения слов являются производными только от контекста конкретного суждения. В конечном счете значение слова определяется элементарными суждениями такой формы, как суждения «это – трюфель», «это – пурпурный цвет» и т. п., где слово «это» может быть заменено на определенный указательный жест. Однако, несмотря на то что суждения не могут быть разложены на словесные составляющие, внимание к этим составляющим зачастую способствует логическому анализу или логической классификации суждений. Рассмотрим следующие суждения:

1. Архимед был скромным.

2. Архимед был математиком.

3. Архимед был более великим математиком, чем Евклид.

Согласно традиционному подходу, каждое из этих суждений является категорическим, а его составные элементы – это субъект, предикат и связка. Любое суждение, такое как «Архимед любил математику» или «Архимед бежал голым по улице и кричал «Эврика!»», может быть разложено и трансформировано: «Архимед был любящим математику» или «Архимед был бегущим голым по улице» и т. д. Можно задаваться вопросом о том, не изменяет ли такая трансформация значения суждения. Однако в любом случае суждения можно анализировать и иными способами, отличными от традиционного подхода. Так, используя в качестве модели суждение 2, можно рассматривать любое суждение как утверждающее, что некоторый объект является членом определенного класса. Тогда получится, что в суждении 1 утверждается, что Архимед был членом класса скромных сущностей, а в суждении 3 – что он был членом в классе математиков, более великих, чем Евклид. Данный способ анализа соотносится с классическим так же, как взгляд с точки зрения объема соотносится со взглядом с точки зрения содержания.

Совершенно иным способом анализа суждений является рассмотрение их как утверждающих определенное отношение между двумя или более объектами. Так, в нашем первом суждении утверждается отношение между Архимедом и скромностью (отношение субстанции и признака), в нашем втором суждении утверждается так называемое отношение принадлежности к классу между Архимедом и классом математиков. Таким образом, суждения типа «Архимед решил задачу царя Гиерона» могут быть разложены для получения таких суждений, как «Архимед находился в отношении решателя к задаче царя Гиерона».

Вполне ясно, что ни один из этих способов анализа не может считаться единственно верным. Эти подходы также не являются и взаимоисключающими. Тем не менее, каждый из этих способов анализа подходит для одних суждений лучше, чем для других. Можно только с большой натяжкой сказать, что в суждении «автор «Макбета» есть автор «Гамлета»» «автор «Гамлета» означает признак того, что именуется «автором «Макбета»». Более подходящим представляется способ рассмотрения данного суждения как утверждающего отношение

тождества в денотации, несмотря на различие в содержании, или коннотации.

В логическом смысле еще более важно отметить, что если мы не проведем различия между суждениями о принадлежности к классу, с одной стороны, и суждениями, представляющими какие-либо другие отношения, – с другой, то мы упустим важный фактор, оказывающий влияние на природу импликации. Так, в то время как одни отношения являются транзитивными, отношение принадлежности к классу таковым не является. Суждение «Архимед был более великим математиком, чем Евклид, и Евклид был более великим математиком, чем Аристотель» имплицирует суждение «Архимед был более великим математиком, чем Аристотель». Однако суждение «Архимед был гражданином Сиракуз, и Сиракузы были членом греко-карфагенского союза» не имплицирует суждения «Архимед был членом греко-карфагенского союза».

В главе VI мы систематически изучим отношение между классами и логические свойства отношений в целом.

Родовые общие суждения

Рассмотрим суждение «все математики – квалифицированные логики». Его нельзя просто отнести к суждениям субъектно-предикатного вида, поскольку в нем определенному индивиду не предицируется какая-либо характеристика или качество. В нем также не утверждается и то, что индивид является членом некоторого класса. Также не будет корректным сказать, что в нем утверждается некоторое отношение между одним индивидом и другим индивидом или несколькими индивидами. В нем утверждается особое отношение включения между двумя классами. Суждения об отношениях между классами, т. е. о полном или частичном включении (или исключении) одного класса из другого, называются родовыми общими суждениями. Мы уже указали на то, каким должен быть правильный анализ таких суждений, когда рассматривали анализ категорических суждений в предыдущем разделе. Попытаемся теперь прийти к тому же самому заключению с другой стороны.

«Архимед был математиком», «Евклид был математиком», «Птолемей был математиком» – все эти суждения обладают общей формой. Они отличаются только в том, что в качестве субъектов в них выступают различные термины. Теперь рассмотрим выражение «х является математиком». Оно не является суждением, поскольку не может быть истинным или ложным. Однако из него можно получить суждения, подставляя различные значения на место переменной х. Все суждения, полученные таким путем, будут обладать общей формой. Выражение, содержащее одну или более переменную и выражающее суждение, если переменным придаются значения, называется пропозициональной функцией.

Мы можем варьировать не только субъект, но и другие термины такого суждения. Изменив отношение в суждении «Архимед был убит римским солдатом», мы получаем суждение «Архимед был восхвален римским солдатом», «Архимед был двоюродным братом римского солдата» и т. д. Если мы выразим отношение переменной R, то получим пропозициональную функцию: «Архимед R римский солдат». (Данную запись следует читать как «Архимед находится в отношении R к римскому солдату».) Варьируя в подобной манере термины и отношения в суждении и выражая их с помощью переменных, мы можем проявить логическую форму или структуру в ее точном виде.

Когда мы утверждаем суждение «все математики – квалифицированные логики», мы хотим сказать, что если любой индивид является математиком, то он также является квалифицированным логиком. Данное отношение можно выразить через импликацию между суждениями, полученными с помощью пропозициональных функций, следующим образом:

[Для всех значений х ( х является математиком) ( х является квалифицированным логиком)],

где знак «», как обычно, означает отношение «если… то» между суждениями, полученными из пропозициональных функций путем придания значений для х.