Занимательная математика
Шрифт:
— Но именно потому, что я покрываю 100 миль за 2 часа, — сказал мистер Джонсон своему приятелю, — нет никаких оснований предполагать, что в течение этих 2 часов непременно найдется часовой промежуток времени, на протяжении которого я двигаюсь со средней скоростью 50 миль/ч.
— Не хотелось бы огорчать вас, но, к сожалению, вы заблуждаетесь, — засмеялся врач. — Нетрудно доказать, что независимо от того, как менялась скорость поезда в течение 2 часов, за которые вы преодолеваете отрезок в 100 миль, непременно найдется по крайней мере один одночасовой промежуток времени, за который вы проезжаете ровно 50 миль. Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Представим себе, что 2 часа разделены
Предположим также, что ни за первый, ни за второй час вы не проезжаете ровно 50 миль, так как в противном случае задача была бы решена. Мы можем также, не ограничивая общности, предположить, что средняя скорость за первый час меньше 50 миль/ч, а за второй час — больше 50 миль/ч. Как вы увидите из дальнейшего, мои рассуждения не зависят от того, в который из часовых промежутков, в первый или во второй, средняя скорость была больше.
Мысленно представим себе промежуток времени продолжительностью в 1 час, непрерывно движущийся вдоль шкалы времени, на которой отложены один за другим первый и второй часы движения поезда. В начальном положении наш промежуток времени полностью совпадает с первым часом, в конечном положении — со вторым часом. Рассмотрим среднюю скорость поезда за часовой промежуток, скользящий вдоль шкалы времени. Так как в начальном положении наш часовой промежуток полностью перекрывается с первым часом, то средняя скорость за этот промежуток в самом начале меньше, чем 50 миль/ч. Непрерывно перемещая его направо, мы в конце концов совместим его со вторым часом, и тогда средняя скорость за скользящий часовой промежуток станет больше, чем 50 миль/ч.
Таким образом, непрерывно сдвигая часовой промежуток слева направо, мы непрерывным же образом изменяем среднюю скорость от значения, меньшего 50 миль/ч, до значения, большего 50 миль/ч. Следовательно, в некотором промежуточном положении часового промежутка средняя скорость за этот час должна быть в точности равна 50 милям/ч. Тем самым мое утверждение доказано.
Машинист вздохнул и заметил:
— Думаю, что вы правы, хотя войскам связи от этого не легче, так как я мог заранее знать, когда именно поезд начнет проходить тот самый участок, на котором он развивает среднюю скорость в 50 миль/ч, и поэтому не мог установить, когда мне следовало бы выпустить почтовых голубей. Но пока я размышляю над этим, мне хотелось бы предложить вам одну практическую задачку, которая может вас заинтересовать.
— Предлагайте, — охотно согласился доктор, — хотя я не очень силен в практических задачах.
Летнее время
— Как вы знаете, — начал мистер Джонсон, — я долгие годы водил поезда на одной и той же дистанции. Каждый вечер я прибывал в свой родной город точно по расписанию в одно и то же время и передавал поезд другому машинисту, которому предстояло вести его дальше.
— Это мне известно, — подтвердил доктор.
Поскольку железнодорожное расписание выдерживалось с идеальной точностью, моя жена точно знала, когда я прибываю в город, и подъезжала на автомобиле к вокзалу, чтобы отвезти меня домой. Каждый вечер она подъезжала к вокзалу в ту самую минуту, когда мой поезд останавливался, и забирала меня.
— Заботливая у вас женушка, — заметил доктор.
— Так вот, — продолжал машинист, — как сейчас помню, однажды между несколькими штатами разгорелся спор относительно того, следует ли переходить на летнее время. Случилось так, что мой штат не перешел на летнее время, а поскольку дистанция, на которой я водил поезда, начиналась в соседнем штате, перешедшем на летнее время, расписание было нарушено, и я прибыл на станцию в свой родной город в первый же вечер после введения летнего времени на час раньше (по часам в моем городе).
Так как мне предстояло прождать целый час, я счел за благо отправиться домой пешком. Так я и шел, пока не встретил по дороге жену, ехавшую, чтобы подобрать меня после рейса и доставить домой. Я сел в автомобиль, и мы поехали домой. По прибытии я взглянул на настенные часы и увидел, что хотя изрядный отрезок пути я прошел пешком, жена доставила меня домой на 20 минут раньше обычного. Часов у меня, как я уже говорил, не было, но пешком я шел довольно долго. Я попытался было вычислить, сколько времени я шел пешком, но запутался и бросил выкладки. Может быть, вы могли бы сказать мне, как долго я шел пешком?
— Разумеется, — кивнул доктор. — Проще всего вычислить, как долго вам пришлось идти пешком, если «позабыть» о вас и сосредоточиться только на пути, который пришлось проделать в тот вечер вашей жене. Из сказанного вами нам известно, что ваша жена выехала из дому в обычное время, но вернулась на 20 минут раньше, чем обычно. Чтобы сэкономить 20 минут на пути до станции и обратно, ваша жена должна была сократить на 10 минут путь от дома на станцию и на 10 минут путь от станции домой. Иначе говоря, ваша жена подобрала вас за 10 минут до того, как она прибыла бы на станцию до введения летнего времени в соседнем штате. Но она прибыла бы на станцию через час после того, как вы отправились домой пешком. Следовательно, вы шли пешком все время, составляющее разность между 10 минутами и 1 часом, т. е. 50 минут.
4. Путешествия расширяют кругозор
Три лица, испачканных сажей
Всякий, кому случалось путешествовать по Европе, отлично знает, что пассажиры в британских поездах имеют обыкновение держать окна в купе открытыми, чтобы дышать свежим воздухом. Разумеется, вместе со свежим воздухом в купе попадает изрядное количество дыма, изрыгаемого локомотивом, в котором по британскому обычаю в качестве топлива используется уголь.
Однажды клубы дыма через открытое окно попали в купе, в котором чинно сидели трое благовоспитанных жителей туманного Альбиона — леди и два джентльмена. В результате этого незначительного происшествия лица всех трех пассажиров оказались испачканными сажей и являли забавный контраст с их безупречными костюмами и снобистскими манерами. Леди (ее звали мисс Аткинсон) оторвала глаза от книги, которую читала, и, несмотря на все свое великолепное воспитание, не смогла удержаться от смеха при виде открывшегося ей нелепого зрелища. Но ее спутники, джентльмены, также рассмеялись.
При этом (возможно, в силу свойств истинно британского характера) каждый из трех пассажиров полагал, что его (или ее) лицо не испачкано и что двое пассажиров смеются, глядя, как выпачканы сажей их лица (правила хорошего тона запрещали каждому открыто уставиться на предметы своего интереса, поэтому угадать, над кем смеется каждый из пассажиров, было решительно невозможно).
Так продолжалось несколько минут. Затем мисс Аткинсон, получившая более основательное образование, чем ее спутники, и работавшая учительницей в школе, поняла, что сажей испачканы не только лица ее спутников, но и ее, по-видимому, собственное лицо. Она достала носовой платок и тщательно вытерла свое лицо. При взгляде на носовой платок мисс Аткинсон убедилась, что ее предположение было правильным. Как она пришла к заключению, что ее лицо испачкано сажей?