Занимательный космос. Межпланетные путешествия
Шрифт:
Потенциальная энергия той же единицы массы на высоте 54,3R (в точке равного притяжения) выражается суммой
Потеря потенциальной энергии при перемещении ракеты с уровня × на уровень 54,3R составляет
и должна, мы знаем, равняться кинетической энергии единицы массы ракеты, т. е. – 1/2v2, или 3 gx. Имеем уравнение
откуда х = 0,2616, R = 0,2616 · 6370 = 1666 км.
Теперь из уравнения v2 = 6gx находим v = 9750 м/с.
Итак,
Сходным образом можно установить, что при отвесном подъеме ракеты с Луны она приобретает максимальную скорость (2300 м/с) на высоте 90 км, после 76 с подъема. И обратно: падая от точки равного притяжения на лунную поверхность, ракета должна начать замедление полета на высоте 90 км, чтобы при ускорении (отрицательном) 3g свести свою 2300-метровую скорость к нулю.
Вычисляя скорость, с какою тело должно покинуть Землю для удаления в бесконечность, мы принимали, что Земля – единственный центр, притяжение которого тело должно при этом преодолеть. На самом же деле приходится считаться также и с притяжением Солнца. Чтобы учесть это обстоятельство, установим сначала зависимость между скоростью тела на орбите и другими величинами.
Рис. 59. К расчету скорости полета
По второму закону Кеплера, площади, описываемые радиусом-вектором в равные времена, равны. Пусть тело (планета) движется вокруг Солнца по эллипсу с полуосями а и Ь; период обращения Т секунд, секундная скорость V, радиус-вектор г; тогда для точек перигелия и афелия имеем равенство
где левая часть есть выражение (приближенное) для площади, описываемой радиусом-вектором за одну секунду,
a πab — площадь эллипса. Имеем:
Пусть теперь тело (звездолет, планета), движущееся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса r, должно перейти в точке А своего пути на эллиптическую орбиту с полуосями а и Ь. Определим, какое для этого необходимо изменение скорости.
Из третьего закона Кеплера следует, что отношение квадрата периода обращения планеты к кубу ее среднего расстояния от Солнца (или большой полуоси) есть величина постоянная; для планет солнечной системы эта постоянная равна (в единицах системы см-г-сек)
откуда
Отсюда имеем скорость v кругового движения около Солнца на расстоянии r:
Обращаясь к эллиптической орбите, имеем прежде всего
Из формулы (5) мы знаем, что скорость vЭ движения по эллиптической орбите в точке А
Так как скорость vK, движения по круговой орбите (см. (6))
то из сопоставления формул (6) и (7) имеем
По этой формуле и вычисляется скорость, какую необходимо сообщить звездолету, чтобы с круговой орбиты он перешел на эллиптическую или удалился в бесконечность. В последнем случае полагаем большую полуось а эллипса равной бесконечности. Имеем:
т. е. для удаления звездолета с круговой орбиты в бесконечность необходимо, чтобы круговая скорость его увеличилась в
т. е. приращение скорости 41,8 – 29,6 = 12,2 км/с.
Теперь мы можем вычислить скорость, какая должна быть сообщена звездолету для преодоления притяжения Земли и Солнца и, следовательно, для свободного удаления с Земли в бесконечность. Чтобы преодолеть притяжение, нужна начальная скорость 11,2 км/с, т. е. работа (живая сила) для каждого килограмма веса звездолета.
Чтобы преодолеть солнечное притяжение, нужна работа (v = 12 200 м/с)
Общая работа для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца равна
Искомая скорость × получается из уравнения:
откуда
Вычислим теперь начальные скорости, необходимые для достижения планет Марса и Венеры. Для Марса
Поэтому из формулы (8) имеем
т. е. нужна добавочная скорость 32,6 – 29,6 = 3 км/с.
Искомая скорость для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца вычисляется, как сейчас было показано:
Таким же образом определяем, что для достижения Венеры нужна начальная скорость, не меньшая
Рис. 60. Маршрут перелета с Земли (7) на Венеру ( V)
Продолжительность перелетов
Перелет на Венеру. Продолжительность этого перелета, при условии минимальной затраты горючего, определится, если будет известен период обращения воображаемой планеты по эллипсу TV (рис. 60). Если S — Солнце, то ST= 150 × 106 км, SV= 108 × 106 км; среднее расстояние воображаемой планеты от Солнца равно 1/2(150 + 108) × 106 = 129 × 106 км. По третьему закону Кеплера,
где x – продолжительность обращения воображаемой планеты, а 225 суток – продолжительность обращения Венеры;
Значит, полет в один конец займет 147 суток.
Перелет на Марс. Время перелета определяется из пропорции:
откуда
у = 519 сут.
Значит, перелет в один конец продлится 259 суток.