Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

Наварро Хоакин

Но что такое идеалы и почему они получили столь романтичное название? Совершим небольшой экскурс в историю математики. Рассмотрим в качестве примера квадратичное целое

[-5] или

[i5], что аналогично. Это множество чисел вида а + Ь– 5, где а и Ь — целые числа. Иными словами,

[-5] — кольцо (убедитесь в этом), но здесь, говоря математическим языком, мы вступаем в запретную зону. Мы привыкли к стандартным свойствам делимости

и к тому, что разложение числа на простые множители всегда является единственным. К примеру, рассмотрим число 21. Имеем 21 = 3·7 и на этом разложение на множители заканчивается: 21 можно разложить на простые множители единственным способом, и этими множителями будут 3 и 7. Это утверждение следует из основной теоремы арифметики: на множестве 

разложение любого числа на простые множители является единственным. На множестве

[-5] это утверждение уже не будет выполняться: здесь мы можем разложить 21 на простые множители двумя способами:

3·7 = (4 + -5)(4 — -5) = 21.

На этом множестве разложение на простые множители уже не будет единственным, что, к своему величайшему неудовольствию, заметил еще Эрнст Куммер (1810–1893). Это утверждение, которое кажется не особенно важным и записывается всего одной строкой, помешало алгебраистам XIX доказать теорему Ферма и доставило им немало хлопот.

Чтобы как-то исправить ситуацию и обойти проблему стороной, сам Куммер ввел идеальные числа. Они оказались не слишком полезны, так как принадлежали уже не к 

[-5], а к другому, большему кольцу. Это были даже не числа — сегодня мы бы назвали их множествами чисел, эквивалентных между собой. Тогдашним математикам были неизвестны общепринятые на сегодняшний день понятия фактор множества и гомоморфизма, и какой-то порядок и логику в мир идеалов внес лишь Рихард Дедекинд (1831–1916). За ним последовали другие алгебраисты, которые расчистили территорию и приступили к раскопкам. Важное место среди них занимала Эмми Нётер.

Идеалы обладают еще одной примечательной особенностью — речь идет о цепочке идеалов. Не будем следовать за Нётер и пытаться объяснить абстрактное понятие, а ограничимся тем, что приведем один очень простой пример — идеалы кольца целых чисел

.

В этом мире (он представляет собой область целостности, то есть «хорошее» кольцо) правит бал основная теорема арифметики: для всех чисел разложение на простые множители является единственным, и ничто не нарушает гармонию. Идеалами в этом мире будут множества n

, состоящие из целых чисел, кратных n. Количество таких идеалов, как и самих чисел, будет бесконечно велико. Сумма и произведение идеалов определяются очень просто:

Идеалы, которые представляют собой множества чисел, и обычные числа ведут себя одинаково, одинаково раскладываются на множители, и с точки зрения арифметики эквивалентны. Они эквивалентны даже в таком непростом аспекте, как делимость. В самом деле, «Ь делится на а» для идеалов можно выразить как b

a

. Гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединенных функцией принадлежности

, которая отражает их делимость друг на друга.

Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно закончится и любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными. Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми уделяла особое внимание в своих исследованиях.

Позднее алгебраисты доказали эквивалентность следующих утверждений.

1. Кольцо А является нётеровым (иными словами, возрастающие цепочки идеалов на нем конечны).

2. Любой идеал на А является конечнопорожденным.

3. Любое множество идеалов на А содержит наибольший идеал.

В 1999 году Австралийский математический фонд выпустил футболки, на которых были изображены все возрастающие цепи для идеала 18

на множестве

. Использовать другой пример помешали

ограниченные размеры футболок. На футболках были изображены следующие цепи идеалов:

Как и следовало ожидать, эти цепочки конечны, а кольцо 

является нётеровым. Между прочим, Гильберт доказал, что если кольцо А является нётеровым, то нётеровым будет и кольцо многочленов А[Х].

* * *

ТЕОРЕМА ЭММИ И ШАХМАТИСТА

Алгебраист Эмануэль Ласкер (1868–1941) был выдающимся математиком и чемпионом мира по шахматам. Он подробно рассмотрел обычные, простые и примарные идеалы. Не будем слишком углубляться в абстрактную алгебру и рассмотрим кольца А, которые также представляют собой области целостности. Примерным идеалом на этих кольцах называется идеал I, отличный от исходного кольца А, на котором при ab 

I и а 

 I существует n такое, что bⁿ 

I. (При n = 1 этот идеал называется простым.) Ласкер описал очень широкий класс колец (сегодня они называются кольцами Ласкера) на основе одного интересного свойства их идеалов. Любой идеал можно представить в виде пересечения конечного числа примарных идеалов.

Эмми Нётер доказала теорему, сегодня известную как теорема Нётер — Ласкера, которая звучит следующим образом:

«Любая нётерова область целостности является кольцом Ласкера».

Эта теорема, относящаяся к абстрактной алгебре, связывает между собой два, казалось бы, очень далеких понятия — конечные цепочки идеалов и пересечения примарных идеалов. Возможно, вы не заметили (и, по правде говоря, извиняться за это вовсе не стоит), что если мы применим теорему Ласкера — Нётер к кольцу

, то получим основную теорему арифметики: любое целое число можно представить в виде произведения простых множителей единственным способом. Термин «нётерово кольцо», который сегодня используется повсеместно, ввел великий французский математик Клод Шевалле (1909–1984), один из основателей группы Бурбаки.

* * *

Конец истории

Не стоит и говорить, что уже в 1930-е годы Эмми Нётер пользовалась среди математиков невероятным уважением. Пример тому — ее участие в Международном конгрессе 1932 года. На следующий год к власти в Германии пришли нацисты, и с огромной решительностью, которая могла сравниться только с их же глупостью, принялись изгонять из университетов всех преподавателей-евреев. От антисемитизма пострадала и Эмми. Напрасно протестовали ее друзья и знакомые — она и многие ее коллеги (Томас Манн, Альберт Эйнштейн, Стефан Цвейг, Зигмунд Фрейд, Макс Борн и другие) были вынуждены прекратить преподавание в Германии и покинуть страну (как стало ясно позднее, такая возможность выпала не всем), чтобы распространять свои зловредные идеи среди представителей других, неарийских рас. Что именно зловредного увидели нацисты в современной алгебре, мы никогда не узнаем. Вероятнее всего, нацисты сами не знали ответа на этот вопрос.

Брат Эмми, Фриц, переехал в Томск, а сама Эмми, которая некоторое время склонялась то к Оксфорду, то к Москве (она испытывала определенную симпатию к социалистической революции в СССР), усилиями Фонда Рокфеллера оказалась в США.

Об антисемитизме и его распространении написано множество книг. Будет нелишним сказать, что до вступления США во Вторую мировую войну в некоторых университетах, которые считались храмами знания и оплотами либерализма, в частности, в Принстонском университете в Нью-Джерси, набирал обороты антисемитизм. Именно по этой причине еврейская семья миллионеров и филантропов Бамбергеров пожертвовала несколько миллионов долларов Институту перспективных исследований в том же Принстоне — абсолютно нейтральному учреждению, свободному от подобных предрассудков. Это пожертвование в итоге помогло институту стать образцовым исследовательским учреждением. В Принстоне ученые вынашивали идеи, получали зарплату исключительно за научную работу и были освобождены от преподавания. Институт стал убежищем для многих европейских эмигрантов — полностью или наполовину евреев. Среди них были Эйнштейн, Вейль, фон Нейман и Гёдель. Хотя Эмми Нётер читала в институте лекции и проводила семинары, да и ее заслуг в математике было более чем достаточно, она так и не стала полноправным сотрудником Принстона — только потому, что была женщиной. Основным местом работы Нётер стал расположенный недалеко от Нью-Джерси Брин-Мор-колледж в штате Пенсильвания — лучший женский колледж мира. Иногда Эмми забывала, что находится в Америке, и в разгар спора о математике разражалась тирадами на немецком.

Спустя всего два года после приезда в Америку врачи обнаружили у Эмми рак матки. Она прекрасно перенесла операцию, но умерла от эмболии. Интересно, что среди лавины некрологов один, за подписью ван дер Вардена, был без особых проблем опубликован в Германии — должно быть, нацистские цензоры не слишком хорошо разбирались в алгебре.

Именем Эмми Нётер также названы кратер на обратной стороне Луны и астероид под номером 7001.

Глава 6

Ближние горизонты