Жизнь в невозможном мире: Краткий курс физики для лириков

Цвелик Алексей

Медитация. О числах

С тихим звоном, стройно и нескоро Возносясь над чуткою водой, Золотые числа Пифагора Выпадают мерной чередой… М. Волошин

Роль чисел в нашей жизни, равно как и более общего знания, на числах основанного, математики, так же огромна, как и загадочна. Хотя, наверное (и, на мой взгляд, почти наверняка), не все знание, которое человек может получить об этом мире, может быть поверено математически, но вряд ли можно спорить с тем, что та часть, которую можно таким образом поверить, является наиболее бесспорной и надежной. И здесь пролегает тайна, и, как говорится, тайна сия велика.

Сначала немного истории. Чем вообще занимается наука? Мы уже говорили об этом: изучает законы природы. Утверждение это, являясь, по-видимому, очень простым, содержит в себе два исключительно нетривиальных предположения. Во-первых, утверждается, что у природы есть законы (иначе и изучать было бы нечего), и, во-вторых, что мы можем их познать (иначе задача науки была бы безнадежна). Идея законов природы возникла у человечества далеко не сразу; есть основания связывать ее возникновение с религиозно-философским обществом, образовавшимся в VI веке до н. э. вокруг древнегреческого мудреца Пифагора. Существование законов природы, однако, совсем не гарантирует их познаваемость не только существом с такими мыслительными способностями, как человек, но и в принципе. То, что мир можно познать, исходя из какого-то опыта о нем, основано на том, что мир этот в высокой степени регулярен, то есть наполнен множеством похожих друг на друга событий. Само по себе существование законов природы этого совсем не предполагает. Так как читателю такое утверждение может показаться неожиданным, поясню подробнее.

Возьмем классическую механику, то есть подотдел физики, занимающийся движением макроскопических (то есть, проще говоря, видимых) тел. Такое движение описывается законами Ньютона, которые, как известно, являются детерминистскими. То есть, если в настоящее время нам известны координаты и скорости частиц, составляющих систему, уравнения Ньютона позволят рассчитать их положения и скорости в любой момент будущего или прошлого (долой все тонкости квантовой механики,

частицы большие, ну хоть биллиардные шары — квантовой механики нам здесь совсем не нужно). Итак, будущее такой системы вроде бы можно предсказать. Однако есть тонкость. Среди механических систем имеются те, поведение которых не очень чувствительно к начальным условиям. Например, вы заводите свой автомобиль, и, стоит ли он в гараже, или у магазина, или где-нибудь на обочине, если с ним «все в порядке», он заводится и едет. И тут даже без особенно сложной математики можно руководствоваться каким-то опытом и составить вполне разумные ожидания о том, что будет происходить. Однако есть и другие системы, так называемые хаотические. Системы эти подчиняются тем же самым законам, однако их поведение исключительно чувствительно к начальным условиям. Поэтому определить «на глаз», что будет с ними дальше, выработать какую-то качественную картину ожидаемого не представляется возможным. Примерами таких систем является бурлящая вода (турбулентность) или атмосфера (хорошо известно, что предсказания погоды ненадежны, а долгосрочные — невозможны). На самом деле все обстоит еще более драматично. Дело в том, что расхождение начальных данных в таких системах приводит к расхождению траекторий, которое увеличивается со временем экспоненциально. Поэтому не только человек, но и никакой компьютер не сможет посчитать, к чему приведет малое изменение начальных данных через произвольный отрезок времени. Вернемся к предсказаниям погоды. Чем в более далекое будущее мы пытаемся заглянуть, тем неопределеннее оно становится, и за пределами десяти дней, я думаю, никакие мало-мальски детальные прогнозы просто невозможны.

Так вот, условием самой возможности знаний является относительная регулярность нашего мира, основанная на том, что хаотические системы занимают в нем относительно небольшое место. Для дотошного читателя добавлю: положение это в классической механике оправдано теоремой Колмогорова-Арнольда-Мозера, которая утверждает, что большинство механических систем, хотя и не являются интегрируемыми (то есть такими, где уравнения движения могут быть решены аналитически), большое количество времени проводят вблизи траекторий интегрируемых систем.

Следующим утверждением, которое тоже, по-видимому, принадлежит пифагорейской школе, является то, что наиболее адекватным языком, на котором можно обсуждать законы природы, является язык математики. Многие высказывания о природе, выразить которые на обыкновенном языке чрезвычайно сложно, становятся совершенно ясными и прозрачными, будучи сформулированы математически. Наверное, читатель слышал, что Пифагор заметил сходство между законами, управляющими движением планет, и законами музыки. Для человека, математически мыслящего, это сходство очевидно, он как бы слышит это, отсюда и выражение «музыка сфер». Гармония небесного свода подобна гармонии музыкальной. Так же как для восприятия последней у человека должен быть «слух» (что есть не только, да и не столько уши), так и для восприятия законов природы нужен некий внутренний орган, «умный слух».

Нетривиальность ситуации в том, что математика является «абстрактной» наукой. Когда в разговорной речи употребляют термин «абстрактный», то имеют в виду что-то, не имеющее отношения к реальной жизни. И конечно же, с математикой это в 90 % случаев так. То есть можно заниматься ею самой по себе, совершенно не обращая внимания на происходящее вокруг и не имея в виду, что результаты твоих исследований кому-нибудь, кроме твоих коллег, пригодятся. У математики есть свои внутренние проблемы, она движима своими внутренними импульсами. И вдруг!.. И вдруг результаты этих кабинетных изысканий оказываются совершенно необходимыми при изучении природы, того мира, от которого математик отвлекся и затворился. Меня лично это всегда глубоко потрясало, и без преувеличения скажу, что мой непреходящий интерес к физике основан в большой мере на этом.

Примеров того, как абстрактные идеи переставали быть абстрактными и становились в высшей степени конкретными, можно приводить бесконечно. Ну, возьмем хотя бы историю самого понятия числа. Начиналась она как раз с другого конца, то есть теория шла за практикой. Сначала думали, что есть только целые числа и дроби, потом обнаружили, что есть и иррациональные числа, такие как квадратный корень из двух или отношение длины окружности к ее диаметру (число «пи»). Все это пришло из непосредственных наблюдений; нужно было соотнести длину диагонали квадрата с его стороной или длину окружности с ее диаметром. Пифагорейский мир от этих открытий чуть не рухнул: человека, открывшего иррациональные числа, говорят, утопили. Но вот история появления мнимых чисел несколько иная (напомню, что мнимым числом является произведение любого «обычного» числа и квадратного корня из минус единицы; последний в математике обозначается символом i). Мнимые числа возникли в математике (кажется, в XVI веке) как промежуточная ступень при решении алгебраических уравнений, то есть из нужд самой математики. Долгое время казалось, что их использование есть просто вопрос удобства и ничего глубокого за ними не стоит. Действительно, такими числами для простого счета пользоваться нельзя; не может же быть i яблок или расстояние от одного города до другого не может равняться i километрам. Однако оказалось, что мнимые числа очень даже нужны для физики, не просто нужны, а так нужны, что обойтись она без них просто не может.

Чтобы обсуждение не выглядело совершенно отвлеченно, приведу пример применения комплексных чисел. Вот, скажем, нам надо посчитать площадь под кривой, заданной уравнением у = 1/(х² + 1), часть которой изображена на рисунке (предполагается, что кривая простирается от минус до плюс бесконечности, но этого, понятно, не нарисуешь).

Математически эта задача эквивалентна вычислению интеграла:

Все числа и функции здесь действительные, что очевидно хотя бы из того, что площадь под кривой (закрашена на рисунке серым цветом) действительна. Однако оказывается, что интеграл очень просто вычисляется, если переопределить его как интеграл от комплексной функции. Он равен = 3,14159… Разумеется, я привел самый простой пример; в данном случае интеграл можно посчитать и без комплексных чисел, но есть множество примеров, когда этого сделать нельзя.

На мнимых числах расширение понятия числа не остановилось. В начале XIX века были введены кватернионы, перешедшие в физику сто лет спустя. В конце XIX века появились так называемые Грассмановы числа, названные так по имени открывшего их немецкого математика Германа Грассмана. Представьте себе объекты, которые можно перемножать (но не делить друг на друга) и складывать, а также интегрировать. Отличие этих объектов от обычных чисел состоит в том, что произведение двух Грассмановых чисел ab меняет знак, когда сомножители меняются местами: ba = — ab. Соответственно, произведение любого Грассманова числа на себя равно нулю. Звучит как игра абстрактного ума, не правда ли? Оказалось (через сто лет), что квантовая теория поля без таких чисел не может обойтись.

А не вспомнить ли историю геометрии Лобачевского? Задал человек себе вопрос: можно ли построить логически непротиворечивую геометрию, отказавшись от постулата о том, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Выяснилось, можно. Казалось бы, чистая абстракция. Практики (типа Чернышевского) говорили, что Лобачевский просто сумасшедший. А потом еще более сумасшедший немецкий математик Риман построил общую теорию таких геометрий, куда геометрия Лобачевского вошла как частный случай. А через несколько десятков лет Альберт Эйнштейн воспользовался этими «праздными измышлениями» для создания общей теории относительности, теории непревзойденной красоты и изящества.

Итак, математика, являясь абстрактной и отвлеченной наукой, самым неожиданным образом приносит вполне конкретные плоды. Однако на этом чудеса не кончаются. Давайте зададим себе вопрос: где находятся те объекты, которые математика изучает? Даже самая прикладная математика не имеет дела непосредственно с вещами и явлениями этого мира. Вместо этого она имеет дело с какими-то моделями, идеализациями типа идеальной сферы или окружности. В природе ничего такого совершенного нет (как говорил Гегель, «природа бессильна следовать идее»). Все утверждения математики касаются таких вот идеальных объектов. Например, доказал Пифагор теорему о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы — но где эти треугольники? А вот еще вопрос: выдумал Пифагор эту теорему или открыл? Если бы никто к настоящему времени не доказал этой теоремы, была бы она верна? Или: если все математики когда-нибудь исчезнут, останется ли верной теорема Пифагора? Ясно поэтому, что мир математики принадлежит к миру идей — разумных нематериальных сущностей, существующих объективно, вне нашего желания и воли.

Еще немного о числах. Как для пифагорейцев, так и для многих других мыслителей, мистиков и философов, числа не представляли из себя какой-то безразличный ряд, а обладали некой индивидуальностью. Казалось, что некоторые из них обладают особым смыслом. «Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть» (Отк 13, 18). Имеют ли эти представления под собой какую бы то ни было рациональную основу? Ну вот, например, что было бы, если бы у пространства, в котором мы живем, было не три измерения, а больше или меньше? (Я обсужу этот вопрос подробнее в одной из медитаций.) Было бы вот что: в пространстве более чем трех измерений не существовало бы стабильных атомов, так как электрическое поле не могло бы удержать электроны около ядра, а в пространстве с менее чем тремя измерениями атомы были бы настолько стабильны, что их ионизация была бы невозможна и никаких химических реакций не происходило бы. Так что, с одной стороны, — полный распад, а с другой — полный застой. Таким образом, число «три» здесь выступает, как весьма специальное, пограничное. Или, скажем, число «четыре». Это валентность атомов углерода, с такой валентностью они могут образовывать длиннющие цепочки, в которых две связи каждого атома идут на формирование костяка цепочки, а на две оставшиеся можно насаживать, как буквы, другие атомы (водород, кислород, фосфор и т. д.). Получается идеальное хранилище информации: строка и буквы на строке. На этом и стоит вся биология. Это примеры важных (для нас, разумеется) целых чисел. Однако роль некоторых иррациональных чисел представляется мне неизмеримо большей. Вот, например, основание натуральных логарифмов е = 2,721828… или «пи» = 3,14159… встречаются чуть не в каждой физической формуле. Кстати, е представляется в довольно забавном виде, как предел последовательности (1 +1/n)ⁿ где n целое число при n, стремящемся к бесконечности.

В каждом движении мысли находятся люди, доводящие идею до предела, переходящего в абсурд. Так и приведенные выше чудесные свойства математики породили представления о том, что мир может быть описан, так сказать, на кончике пера, что законы его можно извлечь, постулируя несколько аксиом и далее руководствуясь соображениями непротиворечивости. То есть, если аксиомы выбраны правильно, то построить правильную теорию можно, не оглядываясь на эксперимент. Последний, может, и нужен для правильного выбора аксиом, но не более того. Такая точка зрения не является очевидно абсурдной.

В истории науки известны примеры, когда теории удивительной сложности строились, исходя из общих соображений и при практически полном отсутствии экспериментальных данных. Примерами являются теория относительности (как специальная, так и общая) и теория античастиц Дирака (Дирак предсказал существование античастиц, построив математически непротиворечивое объединение квантовой механики и теории относительности). Однако надежды такого «математического фундаментализма» были окончательно похоронены австрийским математиком Куртом Геделем, который доказал, что даже такой относительно простой раздел математики, как теория натуральных (то есть целых положительных) чисел, не может быть построен на основании не только конечного, но даже бесконечного, но счетного количества аксиом. То есть какую бы непротиворечивую систему аксиом мы ни брали, всегда найдутся истинные факты, касающиеся натуральных чисел, которые в рамках этой системы не могут быть доказаны. Так как наука о натуральных числах входит как составляющая в любой отдел математики и физики, то теорема Геделя распространяется на все математическое знание. Значит, от мира отгородиться не удается.

Глава 5

Научно-Исследовательский Институт Чародейства и Волшебства

Куда бы нас ни бросила судьбина, И счастие куда б ни повело, Все те же мы: нам целый мир чужбина, Отечество нам Царское Село… А. С. Пушкин

Читателю будет отрадно узнать, что наши ученые-естественники, в частности физики, уехав из своего отечества, отнюдь не пропали. Чтобы понять, почему случилось так, что мозг и талант оказались чуть ли не единственным, кроме разве что полезных ископаемых и проституток, востребованным продуктом советского (да и постсоветского тоже) экспорта, давайте присмотримся поближе к самому продукту. Западный глаз различает на нем только «made in USSR», а вот наш, более внимательный, заметит, что большинство физиков окончило один и тот же вуз: Московский физико-технический институт, о котором я уже много говорил в предыдущих главах, а большинство теоретиков происходит либо из Института теоретической физики имени Ландау или же как-то связано с научной школой Ландау.

Я не буду здесь распространяться о личности Ландау, которого по молодости лет никогда не встречал. Факт невстречи, однако, не мешает мне считать себя его учеником, так как Ландау оставил нам ПИСАНИЕ в форме курса теоретической физики — канонический текст, без которого никакой школы Ландау не было бы. И строго наказал сей курс учить, сказав, что эти тома содержат МИНИМУМ того, что теоретику надлежит знать. И учили, и экзамены сдавали ученикам Ландау, а потом ученикам его учеников. Экзамены не были обязательными, но ведь стыдно было казаться неучем…

Ландау, кстати сказать, гениально понимал, что физика образует единство, что нет по отдельности астрофизики, физики элементарных частиц, физики металлов, физики выгребных ям и т. п., а есть ФИЗИКА. Наверное, он был не один такой, кто понимал это и понимает, но уж больно рельефно это понимание выразилось в его курсе. Для меня лично интуиция этого единства всегда была источником бесконечного вдохновения и интереса, а также выражением величайшей тайны природы. Поясню, в чем дело. Дорогой читатель, если ты еще не совсем позабыл ту математику, которой тебя учили в институте, возьми в руки тома Ландау и Лифшица. Даже не вникая в суть написанного, ты заметишь, что математические уравнения в томах, посвященных совсем разным разделам физики, очень похожи. Вот тут речь идет о гидродинамике (это о течении всяких жидкостей, в том числе воды), а вот тут про движение электронов в металлах. А вот тут про электромагнитные явления (радиоволны, свет). Предметы совершенно разные — воду мы видим невооруженным глазом, а электроны нет, а вот законы их движения, оказывается, похожи… Чудо и тайна в том, что во всем огромном диапазоне природы, в разных масштабах пространства и времени «проигрываются» одни и те же идеи. Интуиция этого была уже у Пифагора, заметившего сходство законов, управляющих движением небесных тел и струн лиры. Можно сказать, что в музыке сфер одна и та же мелодия исполняется разными инструментами в разных тональностях (мой собеседник по журналу «Сноб» композитор и пианист Владимир Генин сказал мне, неучу, что такая музыка была бы похожа на Стравинского). Математика черных дыр похожа на математику эффекта Холла, хотя дыры эти огромны и массивны, а эффект Холла наблюдают внутри маленьких транзисторов. Механизм образования масс элементарных частиц тот же самый и описывается так же, как механизм выталкивания магнитного паяя из сверхпроводников (этот механизм теперь используют сверхскоростные поезда, так называемые levitating trains). И открыли его совместно Питер Хиггс (частичник) и Филип Андерсон (теоретик, специализирующийся в области физики твердого тела).

Институт Ландау был страшно мал, крохотная пристроечка, притулившаяся к столовой соседнего советского монстра — Института химической физики АН СССР в Черноголовке. Там, за забором, царили другие порядки, там работали серьезные люди. А мы были и остаемся людьми в высшей степени несерьезными.

И своим внешним видом и содержанием институт напоминал легендарный НИИ ЧАВО (Научно-Исследовательский Институт Чародейства и Волшебства из книги Стругацких «Понедельник начинается в субботу»). Однако если НИИ ЧАВО был мал лишь с внешней стороны, а внутри был практически бесконечен, физически ИТФ был мал и внутри, а огромен он был только в идеальном мире, благодаря мыслительной мощи своих сотрудников. Места для всех не хватало, и большинство народу приходило только раз в неделю, по пятницам, на семинар и ученый совет. В пятницу институт заполнялся до предела, люди толпились в коридорах, поскольку мест в комнатках-«офисах» не было, во все же остальные дни работали дома. Ядро сотрудников составили ученики и младшие сотрудники Ландау, а молодую поросль поставлял московский Физтех под зорким присмотром нашего директора Исаака Марковича Халатникова. Исаак Маркович не был наделен изысканными манерами У- или А-Януса Полуэктовичей. И, не в обиду ему будет сказано, достижения его в науке не были столь велики, как у многих сотрудников института. Но, и говорю это без всякой лести, ибо никогда меня лично Исаак Маркович не выделял, он — великий человек. Жестковатый и грубоватый с виду Исаак Маркович проявлял себя гением смирения, и без него института не было бы НИКОГДА. Халат (так его в глаза называл Ландау, а за глаза — все остальные) умел не бояться гениальных людей, умел терпеть (а это было надо!) их вокруг себя. Редкий человек на такое способен, Пушкин мне свидетель. Сальери не смог терпеть одного Моцарта, а там была целая толпа. К тому же Халат имел острый глаз на способную молодежь, которую он приводил отовсюду в институт, зная, что в других местах, где начальство продвигало больше тех, кто умел сгибаться и кланяться, нам жить невмоготу. А внутри института был оазис, ну пусть не свободы, так вольности (разницы мы, по наивности, не замечали). Были стукачи, кого-то мы знали, кого-то нет. Вот характерная сценка: в пятницу от метро «Щелковская» едет в Черноголовку институтский автобус; на переднем сиденье вальяжный и барственный Володя Фатеев перебрасывается в картишки с известными стукачами, на задних сиденьях записные комсомольцы трендят какую-то фрондерскую белиберду, посередке незабвенный Жора Рязанов (про него нужна отдельная книга!) рассуждает о том, что Содом и Гоморра были прообразами коммунистического общества, а Миша Фейгельман говорит о физике с таким видом, будто хочет дать тебе в рожу…

Сходство с НИИ ЧАВО простиралось даже до уровня сходства характера сотрудников. В Фейгельмане можно было безошибочно угадать грубого Корнеева, Роман Ойра-Ойра напоминал Сашу Белавина, а черты Кристобаля Хунты были и у Льва Петровича Горькова, и у Саши Полякова. Выбегаллы вот не было, что правда, то правда. Но некоторое количество тех, у кого в ушах росли волосы, было.

Спорили, орали друг на друга, а потом, как ни в чем не бывало, шли пить чай или винцо. Я помню один из докладов Саши Мигдала, когда его совершенно достал Володя Грибов. Мигдал орал на него благим матом и топал ногами: «Вы мешаете мне докладывать!», а Грибов, как ни в чем не бывало, продолжал задавать свои вопросы. И ничего, кончился доклад и разошлись друзьями. Теперь это исчезло, исчезло навсегда. Здесь, на Западе, даже задать вопрос на семинаре считается невежливым, уж про споры и говорить нечего. Профессор — важная персона, к шуткам относятся с опаской, вдруг public image пострадает. Скука… Они и сами это чувствуют, раньше просили: «Устройте нам русский семинар!» Но я давно отложил пустое попеченье…

Вот еще пара историй из быта НИИ ЧАВО. Донимали нас регулярно «сумасшедшие». Как правило, через ЦК. Приходит, бывало, оттуда в институт какой-нибудь фолиант, содержащий в себе «теорию всего» с таким примерно вступлением: «Я чувствую в себе огромные интеллектуальные силы, но, к сожалению, лишен образования. Так вот, если ЦК найдет возможным дать мне на подмогу пару академиков…» Институт должен был проверить, насколько научные притязания авторов этих трудов серьезны. Раз дело пошло дальше переписки. Один такой одинокий гений, построивший ни много ни мало, общую теорию поля, сумел серьезно заинтересовать своей персоной Военно-морской флот. И вот этот товарищ является в Черноголовку в сопровождении целого взвода высоких чинов на предмет того, чтобы сделать нам публичный доклад и получить от нас оценку. Мудрый Исаак Маркович обращается к нашим «герцогам» (мы, мэнээсы, конечно, не в счет, нам молчать полагалось): «Он человек искусный, так что на ошибках в нулях функций Бесселя его не возьмешь. Нужно что-то посерьезнее». Итак, идет доклад, идея за идеей, черные дыры, кварки, поля. Научная общественность молчит, притаилась, ждет, когда Ахиллес обнажит пяту… И вот он, момент! Удар наносит блистательный Горьков: «А Гамильтониан ваш какой имеет вид?» Гений смущен и объявляет перерыв. В перерыве он объясняет высоким чинам, что самая важная часть его теории — та, из которой и следуют все его выводы, засекречена. Исаак Маркович доволен, лучшего он не мог и ожидать. «Ну, если Гамильтониан засекречен, мы ничего не можем сказать. Обратитесь к нашим коллегам в Дубну».

Замечу вскользь, что народная мечта о том, что эта высокомерная коллегия жрецов, этот научный истеблишмент, будет наконец посрамлена каким-то выходцем из низов, нигде не учившимся, а так, одной силой ума превзошедшим всю эту пыльную книжную мудрость, — мечта эта жива! Ее лелеют и Голливуд, и «Нью-Йорк Таймс» и высоколобый «Нью-Йоркер»… Им всем две тысячи лет назад ответил Евклид: «Царского пути в геометрию нет». Ни царского, ни пролетарского, ни журналистского.

Одним из величайших наставников юношества в институте был Анатолий Иванович Ларкин (ныне покойный). Он не был учеником Ландау, его учил старший Мигдал. Автор множества оригинальнейших идей, человек, воспитавший по меньшей мере восемь докторов наук, между прочим, научных титанов (это Ю. Овчинников, Д. Хмельницкий, К. Ефетов, П. Вигман, Л. Иоффе, В. Гешкенбейн, К. Матвеев, И. Алейнер), Анатолий Иванович с виду был тугодум. Начнешь с ним обсуждать что-то, а он засыпает. Надо было не смущаться и продолжать говорить. В конце монолога Анатолий Иванович просыпался и давал ответ. Всегда правильный. Помню такую сцену: в комнате двое — А. И. храпит на диване, а Лева Иоффе скорчился в кресле. Лева обращается ко мне, в глазах — мука: «Ну вот, он-то спит, но он и думает, а я, когда сплю, так я просто сплю!»

Перечислю несколько конкретных достижений института:

1. Микроскопическая теория сверхпроводимости (Лев Горьков, Герасим Элиашберг, Алексей Абрикосов). Последний получил Нобелевскую премию за теоретическое предсказание того, что сейчас называют «вихрями Абрикосова»;

2. Внедрение методов квантовой теории поля в физику конденсированного состояния. Это отражено в классическом труде А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и И. Е. Дзялошинского, написанного в 1960-е годы и до сих пор служащего непревзойденным учебным пособием для студентов всего мира. Мы называли эту книгу за ее зеленый переплет «зеленым чудовищем»;

3. Создание теории точного решения нелинейных дифференциальных уравнений определенного вида (так называемый метод обратной задачи рассеяния, его адепты — Владимир Захаров, Сергей Манаков и Александр Михайлов были прозваны Мигдалом младшим «обратными задачистами»);

4. Создание конформной теории поля (Александр Поляков, Александр Замолодчиков, Александр Белавин и примкнувший к ним Владимир Фатеев);

5. Разработка методов точного решения квантовых задач многих тел и применение ее к конкретным проблемам теории частиц и физики конденсированного состояния (братья Александр и Алексей Замолодчиковы, Павел Вигман, Владимир Фатеев и, отчасти, ваш покорный слуга);