Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Беллос Алекс

F 0= 0.
F 1= 1.	F 6= 8,	F 11= 89,	F 16= 987,
F 2= 1.	F 7= 13,	F 12= 144.	F 17= 1597,
F 3= 2,	F 8= 21,	F 13= 233,	F 18= 2584,
F 4= 3,	F 9= 34,	F 14= 377,	F 19= 4181,
F 5= 5,	F 10. = 55,	F 15= 610,	F 20= 6765.

При

более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F ₃, F ₆, F ₉—другими словами, на каждое третье F– число. Все они делятся на 2. А числа F ₄, F ₈, F ₁₂—то есть каждое четвертое F– число — делятся на 3. Каждое пятое F– число делится на 5, каждое шестое F– число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F– числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/ F ₁₁, то есть ¹/ ₈₉. Это число равно сумме чисел

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи [51] .

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F– числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

51

Надо продолжать складывать. Сумма одних лишь указанных чисел отличается от ¹/ ₈₉на 6,561797754461862… x 10 ^{– 10}. Прибавление еще двух слагаемых, 0,00000000055 и 0,000000000089, приближает к ¹/ ₈₉уже на 1,7179774963738126… x 10 ^{– 11}. ( Примеч. перев.)

Для F ₄, F ₅, F ₆имеем F ₄x F ₆= F ₅x F ₅– 1 (24 = 25 - 1).

Для F ₅, F ₆, F ₇имеем F ₅x F ₇= F ₆x F ₆+1 (65 = 64 + 1).

Для F ₁₈, F ₁₉, F ₂₀: F ₁₈x F ₂₀= F ₁₉x F ₁₉– 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).

Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F– числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:

Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.

В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность

или (с точностью в три десятичных разряда)

1, 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618…

то эти числа будут все ближе и ближе подходить к числу фи — золотому сечению.

Другими словами, приближением к золотому сечению служат отношения последовательных чисел Фибоначчи, причем точность приближения возрастает с каждым новым членом последовательности.

А теперь рассмотрим некую последовательность типа последовательности Фибоначчи, начинающуюся с двух случайных чисел, но продолжающуюся в соответствии с тем же правилом сложения двух последовательных членов. Начнем, скажем, с чисел 4 и 10; следующий член тогда равен 14, а идущий за ним — 24. Далее получаем:

4, 10, 14, 24, 38, 62, 100, 162, 262, 424…

Посмотрим на отношения соседних членов:

или

2,5, 1,4, 1,714, 1,583, 1,632, 1,612, 1,620, 1,617, 1,618…

Заложенный в последовательность Фибоначчи рекуррентный алгоритм, согласно которому надо складывать два соседних члена в последовательности, чтобы получить следующий, оказывается настолько мощным, что с каких бы двух чисел мы ни начали, отношения последовательных членов всегда сходятся к числу фи. Я думаю, это совершенно потрясающий математический феномен.

* * *

Повсеместное присутствие чисел Фибоначчи в природе означает, что число фи тоже вездесуще. И это возвращает нас к дантисту-пенсионеру Эдди Левину. В начале своей профессиональной карьеры он провел немало времени, протезируя зубы, однако это не приносило ему полного удовлетворения, поскольку, как он ни старался, улыбка пациента все равно получалась какой-то кривоватой.

— Я трудился до кровавого пота, — говорил он. — Но как бы я ни старался, зубы все равно не выглядели настоящими.

Примерно тогда же Левин начал посещать занятия по математике и спиритуализму, где он и узнал о числе фи. Узнал Левин и о «Божественной пропорции» Пачоли — и немало этим воодушевился. Что, если число фи, которое согласно Пачоли выражало истинную красоту, также содержало в себе секрет божественных зубных протезов? Эта мысль осенила его в два часа ночи, и он помчался в свой кабинет.

— Остаток ночи я провел за измерением зубов, — рассказывает он мне.

Левин перелопатил множество фотографий и обнаружил, что в самой привлекательной улыбке центральный передний зуб — центральный резец — шире следующего за ним (бокового резца) на множитель, равный числу фи. Боковой резец был также шире соседнего с ним зуба (клыка), и тоже на множитель, равный фи. А клык был шире следующего за ним зуба (первый премоляр — малый коренной зуб), и также на множитель, равный фи [52] . Левин измерял не реальную ширину зубов, но видимый размер зуба на фотографии, сделанной анфас. Как бы то ни было, он полагал, что совершил историческое открытие: красота совершенной улыбки управляется числом фи!

52

Итак, получается, что премоляр уже,чем центральный резец, в число раз, равное ³= 4,236 — то есть более чем в четыре раза. (Примеч. перев.)