Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
| орел, | орел |
| орел, | решка |
| решка, | орел |
| решка, | решка |
После этих двух подбрасываний монеты игра непременно закончится чьей-то победой. В первых трех случаях побеждает Жан, а в четвертом — Жак. Самый справедливый способ поделить банк — это отдать 3/ 4Жану и 1/ 4Жаку, то есть 48 франков — Жану, и 16 — Жаку. Теперь это кажется простым, но в XVII столетии сама мысль о том, что случайные события, которые еще не произошли, можно анализировать математически, представляла собой мощный концептуальный прорыв. Именно эта концепция лежит в основе нашего научного
Через несколько месяцев после того, как он отправил письмо Ферма, Паскаль пережил мистический транс. Придя в себя, он записал свои мысли на листке бумаги, который затем постоянно носил с собой в специальном кармашке, вшитом в подкладку камзола [54] . Быть может, это была реакция на страх близкой смерти — после случая, когда его карета лишь чудом удержалась на мосту, в то время как передние лошади уже сорвались за парапет, — а может, это была эмоциональная реакция на упадок игорных заведений в предреволюционной Франции — но, как бы то ни было, в Паскале ожила его тяга к идеям янсенизма [55] , строгому варианту католицизма, и он забросил математику, сосредоточившись на теологии и философии.
54
Имеется в виду так называемый «Мемориал, или Амулет Паскаля» ( Примеч. перев.)
55
Янсенизм— религиозное движение внутри католицизма, подчеркивающее греховную природу человека и необходимость божественной благодати. Основатель — Корнелий Янсений (1585–1638). ( Примеч. перев.)
Несмотря на благочестивые намерения Паскаля, его наследие оказалось в большей степени мирским, чем духовным. Теория вероятностей — основа невероятно доходной игорной индустрии. Некоторые историки даже приписывают Паскалю изобретение рулетки. Правда это или нет, но колесо рулетки, несомненно, имеет французское происхождение [56] . К концу XVIII века рулетка стала одним из самых популярных развлечений парижан. Правила игры таковы: шарик запускается по внешнему ободу рулетки в сторону, противоположную вращению внутреннего колеса. Он должен свалиться в одну из 38 ячеек, расположенных на колесе. Ячейки пронумерованы от 1 до 36 и окрашены в чередующиеся красный и черный цвета. Есть также две дополнительные ячейки 0 и 00, они зеленого цвета. Игрокам предлагается делать ставки, предсказывая, куда попадет шарик. Самая простая ставка — на то, что шарик остановится на некотором определенном числе. Если число это угадано правильно, заведение платит игроку выигрыш, в 35 раз превышающий его ставку. Так, ставка в 10 долларов принесет вам 350 долларов (и вам еще вернут и вашу поставленную на кон десятку).
56
Roulette (фр.) — маленькое колесо. ( Примеч. перев.)
Рулетка — очень эффективная машина по производству денег, и, чтобы увидеть, почему это так, нам следует познакомиться с новой концепцией — математического ожидания.Это то, чего вы можете ожидать в качестве исхода сделанной ставки. Например, какой выигрыш я могу ожидать, если я поставил на определенное число? Математическое ожидание вычисляется путем умножения вероятности каждого исхода на цену этого исхода и суммирования всех полученных произведений. При ставке на конкретное число вероятность выигрыша равна 1/ 38, поскольку имеется 38 потенциально возможных исходов. Поэтому, ставя 10 долларов на любое конкретное число, я предполагаю выиграть следующую сумму (деньги, которые на самом деле выигрываются, берутся со знаком плюс, а те, что оказываются проигранными, — со знаком минус):
(вероятность остановки на данном числе) x (соотв. выигрыш) + (вероятность остановки на другом числе) x (соотв. выигрыш),
что есть
( 1/ 38x $350) + ( 37/ 38x -$10) = -52,6 цента.
Другими словами, я ничего не выигрываю. Ожидаемым результатом является проигрыш в 52,6 цента на каждые 10 поставленных долларов. Разумеется, сделав одну ставку, я никогда не проиграю 52,6 цента. Я или выиграю 350 долларов, или проиграю 10. Значение -52,6 цента — теоретическое, но в среднем, если я буду продолжать делать ставки, мои потери будут близки к 52,6 цента на ставку. Иногда я буду выигрывать, а иногда проигрывать, но если играть в рулетку долго, продолжая ставить на число, то гарантировано, что в результате у меня окажется меньше, а у заведения, наоборот, больше денег, чем вначале.
У всех других ставок при игре в рулетку — на два числа или более, на сектора, цвета или комбинации — ожидаемый выигрыш равен -52,6 цента, за исключением ставки на «пять чисел», то есть на остановку шарика в 0, 00, 1, 2 или 3, для которой шансы еще хуже: ожидаемая потеря составляет 78,9 цента.
Несмотря на постоянные проигрыши, рулетка была — и остается — любимым развлечением огромного множества людей. Они полагают, что 52,6 цента — разумная плата за то, чтобы пощекотать себе нервы потенциальным выигрышем в 350 долларов. В XIX веке после повсеместного распространения казино для повышения конкурентоспособности стали применяться колеса без ячейки 00, из-за чего вероятность выигрыша при ставке на число оказывалась равной 1/37, а ожидаемые потери уменьшались до 27 центов на каждые поставленные 10 долларов. Такое изменение означало, что скорость, с которой игроки теряли деньги, уменьшилась в два раза. В европейских казино чаще встречаются колеса только с ячейкой 0, тогда как в Америке предпочитают исходный вариант, где присутствуют и 0, и 00.
Во всех играх с казино ожидаемый выигрыш отрицателен; другими словами, ожидается, что игроки будут проигрывать деньги. Если бы дело обстояло каким-то по-другому, то казино бы быстро разорились. Впрочем, ошибки иногда случаются. Как-то раз владельцы одного казино на речном пароходике в Иллинойсе в рекламных целях изменили выигрыш, выплачиваемый при определенной сдаче при игре в блек-джек, не учтя, что ожидаемый выигрыш из отрицательного стал положительным. Вместо проигрыша у игрока появился ожидаемый выигрыш в 20 центов на ставку в 10 долларов. По некоторым данным, это казино теряло 200 000 долларов в день.
Взглянуть на ожидаемые потери можно и другим способом — рассмотрев процент возврата.Если вы играете в рулетку и ставите 10 долларов, то можете ожидать, что к вам вернется около 9,47 доллара. Другими словами, в американских рулетках процент возврата равен 94,7 %. Хотя это и не выглядит слишком выгодным для игроков, но так все-таки лучше, чем в случае игровых автоматов.
В 1893 году газета «San Francisco Chronicle» известила читателей, что в городе появились полторы тысячи «слот-машин [57] , которые могут принести вам колоссальный доход. Их становится все больше и больше, хотя о первых мы узнали всего-то несколько месяцев назад». У тех машин было много различных вариаций, но рождение современных игровых автоматов состоялось только на рубеже столетий, когда немецкий иммигрант Чарльз Фей предложил идею трех вращающихся барабанов. На барабанах автомата «Колокол Свободы» были изображены подкова, звезда, карточные черва, бубна и пика, а также треснувший колокол Свободы из Филадельфии. Различные комбинации этих символов приносили различные выигрыши, а джекпот выплачивался, когда выпадали три колокола. Этот игровой автомат — известный как «однорукий бандит» из-за имеющегося сбоку рычага и своей способности к грабежу играющих, — отличался от конкурирующих моделей тем, что привносил элемент интриги: вращающиеся колеса останавливались по очереди. Другие компании быстро переняли сей опыт, и вскоре машины такого типа распространились за пределы Сан Франциско, а к 1930-м годам игровые автоматы с тремя барабанами стали неотъемлемой частью американской индустрии развлечений.
57
Slot (англ) — щель для приемы монет в автомате. ( Примеч. перев.)
У «Колокола Свободы» средний возврат был равен 75 процентам. В наши дни игровые автоматы гораздо щедрее.
— Правило очень простое: если бросить в машину доллар, то в большинстве случаев вы получите обратно 95 процентов, — говорит об игровых автоматах, где ставки производятся в долларах, Энтони Бэрлокер, директор по разработке игр в компании «International Game Technology» (IGT), на счету которой — 60 процентов из около миллиона действующих игровых автоматов. — Если это 5 центов, то возврат около 90 процентов, на четвертак — 92 процента, а там, где принимаются одноцентовики, возврат может составлять всего 88 процентов.
Компьютерные технологии позволяют машинам принимать ставки без ограничений по достоинству монет, так что одна и та же машина может выплачивать различный процент возврата в зависимости от сделанной ставки. Я спросил Бэрлокера, имеется ли некий ограничительный процент, ниже которого игроки просто перестанут играть из-за того, что будут слишком много проигрывать.
— Мне лично кажется, что если мы опустимся ниже 85 процентов, то будет исключительно сложно придумать увлекательную игру. Там уже потребуется настоящее везение. Выигрываемых денег окажется недостаточно для поддержания в игроке настоящего азарта. Неплохие результаты получаются уже на уровне 87,5 или 88 процентов. Но когда мы довели процент возврата до 95–97, народ просто валом повалил.