Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
Представим себе точку, поставленную в центре белого листа бумаги. Из этой точки выходят восемь возможных направлений: на север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад и северо-запад. Припишем этим направлениям числа от 0 до 7. Случайным образом выберем число от 0 до 7 и проведем отрезок прямой в направлении, отвечающем полученному числу. Будем делать так снова и снова, в результате чего на бумаге появится некая кривая. Венн проделал такое для самой непредсказуемой из известных ему числовых последовательностей — десятичного разложения числа (откуда исключил восьмерки и девятки) [61] . Результат, писал он, представлял собой «очень правильное наглядное представление случайности».
61
См.
Построенный Венном чертеж стал, по-видимому, самой первой диаграммой «случайного блуждания». То же самое нередко называют «блужданием пьяницы», апеллируя к более выразительной картинке, на которой вместо исходной точки — фонарный столб, а вместо числа — человек в состоянии сильного опьянения, совершающий неуверенные движения. Один из самых очевидных вопросов, которые здесь напрашиваются, — насколько далеко пьяница сумеет отойти от столба, пока еще стоит на ногах? В среднем, чем дольше он будет блуждать, тем дальше от столба окажется. Выяснилось, что расстояние между пьяницей и фонарем растет как квадратный корень из времени прогулки. Итак, если за один час наш пьянчужка в среднем проходит один квартал, то, если дать ему четыре часа, он пройдет два квартала, а через девять часов — три.
Во время своего случайного блуждания наш подвыпивший герой будет иногда ходить кругами, повторяя собственные шаги. Какова вероятность, что он в конце концов снова набредет на фонарный столб? Как ни странно, ответ таков: 100 процентов! Он может блуждать годами в самых отдаленных уголках, но будьте уверены — если дать ему достаточно времени, он в конце концов обязательно вернется в исходную точку.
Представим себе, что пьяница блуждает в трех измерениях. Назовем это «полетом одурелого шмеля». Шмель стартует из некоторой точки в трехмерном пространстве и летит в случайном направлении на фиксированное расстояние по прямой. Затем он останавливается, переводит дух и снова, жужжа, срывается с места в другом случайном направлении, пролетая то же самое расстояние. И так далее. Какова вероятность, что в конце концов он вернется в точку своего старта? Ответ: всего 0,34, то есть около трети. Не правда ли, довольно странно, что в двух измерениях возвращение пьяницы к фонарному столбу представляло собой абсолютную определенность, но еще более странно то, что шмель, жужжащий в воздухе неограниченно долго, с высокой вероятностью никогда не вернется домой.
Первый в мире пример случайного блуждания. Из книги Джона Венна «Логика шанса» (1866). Траектория задается цифрами из разложения числа , начиная с 1415
Главный герой романа-бестселлера Люка Рейнхарта «Дайсмен» («Человек — Игральная кость») принимает жизненно важные решения, бросая игральную кость. Представим себе «Человека-монету», который принимает решения, подбрасывая монету. Если, скажем, у него выпадает орел, он передвигается на один шаг вверх по странице, а если решка — то вниз. Путь нашего Человека-монеты подобен блужданиям уже знакомого нам пьяницы, но в одном измерении, ведь он может смещаться только вдоль одной и той же прямой. Изобразим на графике случайные блуждания, описываемые вторым из двух отчетов о 30 бросаниях монеты, приведенных ранее. Получается вот что:
Блуждание изображается изломанной линией, состоящей из пиков и провалов. Если продолжить упражнение и бросать монету все большее число раз, то проявится тенденция. Линия будет «раскачиваться» вверх и вниз, причем все сильнее и сильнее. Человек-монета будет двигаться, удаляясь все дальше и дальше от начальной точки в обоих направлениях. Ниже приведены графики, которые я составил для путешествий шести Человек-монет, каждый для 100 бросаний монеты.
Если мы вообразим себе, что в одном направлении на определенном расстоянии от начальной точки стоит барьер, то окажется, что в конце концов Человек-монета уткнется в него со 100-процентной вероятностью. Неизбежность этого столкновения весьма поучительна при анализе закономерностей, связанных с играми.
Вместо того чтобы отправлять Человека-монету в путешествие в пространстве, можно использовать траекторию его движения как иллюстрацию состояния его банковского счета. А подбрасывание монеты пусть будет азартной игрой, в которую он играет. При выпадении орла он выигрывает 100 долларов, а решка означает проигрыш 100 долларов. Сумма на его счете будет колебаться — то есть вести себя подобно волнам все большей величины. Установим барьер: Человек-монета не может продолжать игру, если на его счете о долларов. Оказывается, он гарантированно наткнется на этот барьер! Другими словами, в любом случае его ждет банкротство. Этот феномен известен под экспрессивным названием разорение игрока.
Конечно, ни одно казино не расщедрится до такой степени, чтобы ваши шансы были такими же, как при подбрасывании монеты (где процент возврата равен 100). Если шансы на проигрыш выше, чем шансы на выигрыш, график случайных блужданий будет смещаться вниз, вместо того чтобы следовать за ходом горизонтальной оси. Другими словами, банкротство наступит еще быстрее.
Случайные блуждания объясняют, почему преимущество в игре имеют очень богатые. Дело не только в том, что они дольше не становятся банкротами, но и в том, что вероятность того, что их случайные блуждания будут время от времени устремляться вверх, у них выше. Впрочем, секрет выигрыша — что для богатых, что для бедных — это знать, когда остановиться.
Математика случайных блужданий содержит некоторые головоломные парадоксы. Рассматривая приведенные выше графики, где Человек-монета движется вверх или вниз в зависимости от результатов подбрасывания монеты, мы могли бы предположить, что кривая случайных блужданий нашего героя будет с достаточным постоянством пересекать горизонтальную ось. Монета дает шансы 50:50 выпадения орла или решки, так что логично ожидать, что Человек-монета будет проводить одинаковое время с каждой стороны от начальной точки. На самом же деле верно противоположное утверждение. Если монета подбрасывается бесконечно много раз, то наиболее вероятное число переходов с одной стороны на другую равно нулю. Следующее наиболее вероятное число — единица, затем два, три и т. д.
Даже для конечного числа бросаний монеты получаются достаточно странные результаты. Уильям Феллер вычислил, что если монету подбрасывать раз в секунду на протяжении целого года, то имеется один шанс против 20, что Человек-монета будет находиться на одной и той же стороне графика в течение более чем 364 дней и 10 часов. «Мало кто верит, что честная монета породит нелепую последовательность, в которой для миллионов попыток подряд не будет происходить смены стороны; а тем не менее честная монета будет совершать такое с известной регулярностью, — писал он в книге „Введение в теорию вероятностей и ее применения“. — Если бы современному педагогу или психологу пришлось описывать сюжеты, возникающие на достаточно долгом отрезке времени в какой-либо отдельно взятой игре с подбрасыванием монеты, то он наверняка бы зачислил большинство монет в разряд неправильных».
Чудесная способность случайности опровергать прогнозы, диктуемые нашей интуицей, приводит в восторг чистых математиков, но она же прельщает нечистых на руку. Недостаточное понимание основ теории вероятностей означает, что вас легко надуть. Если, например, вы когда-либо подумывали о том, чтобы обратиться в компанию, служащие которой утверждают, что способны предсказать пол вашего ребенка, значит, вы чуть не стали жертвой старого как мир трюка. Представим себе, что я открыл фирму под названием «Узнай-Пол-Ребенка», и заявляю, что обладаю некой научной формулой для предсказания, родится у вас мальчик или девочка. «Узнай-Пол-Ребенка» берет с матерей установленную плату за предсказание. Из-за колоссальной уверенности в точности своей формулы, а также вследствие филантропической щедрости ее генерального директора (то есть меня) фирма также предлагает полное возмещение расходов, если предсказание окажется неверным. Приобретение у фирмы предсказания выглядит как выгодная сделка: или компания «Узнай-Пол-Ребенка» окажется права — и тогда все останутся довольны, или она ошибется — и вы получите назад свои деньги. Увы, на самом деле тайная научная метода, которой пользуются в «Узнай-Пол-Ребенка», состоит в подбрасывании монеты. Если выпадает орел, я говорю, что родится мальчик, а если решка — девочка. Теория вероятностей говорит, что я буду прав примерно в половине случаев, потому что число рождающихся мальчиков примерно равно числу рождающихся девочек. Конечно, в половине случаев я верну деньги, зато кое-что мне все-таки останется!