Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
Для человеческого ума оказывается невероятно сложно, если не невозможно, имитировать случайность. А при столкновении со случайностью мы часто интерпретируем ее как неслучайную. Например, на айподе есть опция воспроизведения песен «вразброс». При этом песни проигрываются в случайном порядке. Но когда компания «Apple» поставила эту программу, пользователи стали жаловаться, что она предпочитает определенных исполнителей, потому что их песни часто следовали одна за другой. Слушатели здесь впадают в заблуждение игрока. Если опция «вразброс» на айподе по-настоящему случайна, то выбор каждой следующей песни не зависит от предыдущей. Как показывает эксперимент с подбрасыванием монеты, противоречащие интуиции длинные последовательности одного и того же исхода являются скорее нормой. Если композиции выбираются случайно, то вполне возможно, или даже весьма вероятно, что будут появляться кластеры песен одного и того же исполнителя. Генеральный
Почему же заблуждение игрока — столь сильный мотив? Все дело в контроле. Нам нравится ощущение контроля за тем, что вокруг нас происходит. Если события совершаются случайно, мы не можем их контролировать. Наоборот, если нам удается контролировать события, то они не случайны. Именно поэтому мы предпочитаем усматривать закономерности даже там, где никаких закономерностей нет. Тем самым мы пытаемся восстановить чувство контроля. Потребность осуществления контроля представляет собой глубокий человеческий инстинкт, связанный с выживанием. В 1970-х годах в весьма впечатляющем (если не сказать жестоком) эксперименте исследовалось, насколько ощущение контроля важно для пожилых пациентов, живущих в интернатах для престарелых. Некоторым пациентам предоставили возможность самим решать, как будут обставлены их комнаты, а также выбрать растение, за которым они будут ухаживать. Других же просто поселили в уже готовые комнаты и выделили комнатное растение. По прошествии 18 месяцев результат оказался просто устрашающим. У тех пациентов, кому была предоставлена возможность принятия решений, смертность составляла 15 процентов, а у тех, кто был этого лишен, — 30 процентов. Ощущение, что мы контролируем ситуацию, поддерживает в нас жизнь.
Случайность — нечто очень далекое от плавности и спокойствия. Она создает области пустоты и области сгущений.
Случайность позволяет объяснить, почему в некоторых небольших деревнях процент врожденных заболеваний выше нормального, почему на некоторых дорогах происходит больше несчастных случаев и почему в некоторых баскетбольных матчах оказываются забитыми все штрафные. А также почему в 7 из 10 последних финалов чемпионата мира по футболу по крайней мере у двух игроков совпадали дни рождения:
| 2006 | Патрик Виера, Зинедин Зидан (Франция), 23 июня |
| 2002 | Никого |
| 1998 | Эммануэль Пети (Франция), Рональдо (Бразилия), 22 сентября |
| 1994 | Франко Барези (Италия), Клаудио Таффарель (Бразилия), 8 мая |
| 1990 | Никого |
| 1986 | Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября |
| 1982 | Никого |
| 1978 | Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября |
| 1974 | Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября |
| 1970 | Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраля |
С первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения.В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.
Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с 365 сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.
Шаг 1
Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.
Шаг 2
Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна 365/ 365x 364/ 365. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день (365 возможностей из полного числа 365), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый (364 возможности из полного числа 365). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.
Шаг 3
Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна 365/ 365x 364/ 365x 363/ 365. В группе из четырех человек она оказывается равной 365/ 365x 364/ 365x 363/ 365x 362/ 365и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,493).
Шаг 4
Если вероятность того, что ни у каких двух человек даты рождения не попадут на один и тот же день, меньше чем 0,5, то вероятность того, что по крайней мере у двух дни рождения совпадут, оказывается больше 0,5 (из шага 1). Так что в группе из 23 человек скорее окажется, что какие-то два человека родились в один и тот же день, чем наоборот.
Футбольные матчи предоставляют нам идеальную выборку, демонстрирующую, что реальные факты отвечают предсказаниям теории, потому что на поле всегда имеется 23 человека — две команды из и игроков и судья. Впрочем, рассмотрение с этой точки зрения финалов чемпионата мира показывает, что парадокс дней рождения работает чуть-чуть слишкомхорошо. Вероятность, что у двух людей в группе из 23 человек окажется один и тот же день рождения, равна 0,507, что лишь едва больше 50 процентов. Однако же, судя по нашему списку, такое случилось в семи из десяти случаев (даже если исключить близнецов ван де Керкхоф), что дает 70 процентов [58] .
58
В заявкена каждый матч указаны 23 игрока, и на поле даже могут выйти 14 (ранее 1994 года — как правило, 13) человек из каждой команды. ( Примеч. перев.)
Частично это следует отнести на счет закона больших чисел. Если бы я анализировал всематчи, сыгранные на чемпионатах мира, то можно было бы пребывать практически в полной уверенности, что результат окажется близким к 50,7 процента. Однако имеется и еще одна переменная. Равномерно ли распределены дни рождения футболистов на протяжении всего года? Возможно, нет. Исследования показывают, что для футболистов выше вероятность рождения в определенные времена года — вероятностное предпочтение оказывается у тех, кто родился сразу после даты, которая разделяет тех, кого записывают в школу на текущий год или на следующий. Дело в том, что родившиеся вскоре после этой даты будут самыми старшими в своем классе, а потому и самыми крупными, и будут показывать лучшие результаты в спорте. А если в распределение дат рождения вносится какая-то систематическая поправка, то можно ожидать более высокой вероятности совпадения дней рождения. Например, в наше время значительное число детей появляются на свет посредством кесарева сечения или искусственных родов. Это чаще случается по рабочим дням (поскольку сотрудники родильных отделений предпочитают отдыхать по выходным), и в результате оказывается, что дни рождения распределены по календарным датам не самым случайным образом. Если взять выборку из 23 людей, рожденных за один и тот же 12-месячный период, — скажем, детей в классе начальной школы, — то окажется, что вероятность одного и того же дня рождения у двух из них существенно превосходит 50,7 процента.