Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Беллос Алекс

* * *

Как я уже говорил, вероятность получить шестерку при бросании одной кости равна ¹/ ₆. Бросим вторую кость; шанс получить шестерку снова равен ¹/ ₆. Каковы шансы получить пару шестерок при бросании пары костей? Самое основное правило теории вероятностей состоит в том, что вероятность наступления двух независимых событий равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго. При бросании пары костей исходы, относящиеся к первой кости, не зависят от исходов, относящихся ко второй кости, и наоборот. Таким образом, шанс появления двух шестерок равен ¹/ ₆x ¹/ ₆, что есть ¹/ ₃₆. Это можно увидеть, перебирая все возможные

комбинации выпадения двух костей: имеется 36 равновероятных исходов, лишь один из которых представляет собой две шестерки.

Если посмотреть на это с другой стороны, то из 36 возможных исходов 35 не представляют собой выпадание двух шестерок. Таким образом, вероятность невыпадания двух шестерок равна ³⁵/ ₃₆. Вместо того чтобы перебирать 35 примеров, можно с равным успехом начать с полного набора исходов, а затем вычесть случаи, когда выпадают две шестерки. В нашем примере это вычисление выглядит как 1 - ¹/ ₃₆= ³⁵/ ₃₆. Итак, вероятность того, что некоторое событие не случится, равна 1 минус вероятность, что это случится.

В давние времена стол для игры в кости заменял собой игровые автоматы, и игроки делали ставки на исход бросания костей. Одна классическая азартная игра состояла в том, чтобы бросить четыре кости и поставить на выпадение по крайней мере одной шестерки. Получался славный источник скромного дохода для всякого, кто желал поставить на это, и наших математических познаний уже достаточно, чтобы увидеть почему:

Шаг 1

Вероятность выпадения одной шестерки при бросании четырех костей равна 1 минус вероятность невыпадения шестерки ни на одной из четырех костей.

Шаг 2

Вероятность невыпадения шестерки на одной кости есть ⁵/ ₆, так что при наличии четырех костей вероятность равна ⁵/ ₆x ⁵/ ₆x ⁵/ ₆x ⁵/ ₆= ⁶²⁵/ ₁₂₉₆что есть 0,482.

Шаг3

Итак, вероятность выпадения шестерки равна 1 - 0,482 = 0,518.

Вероятность 0,518 означает, что если вы бросите четыре кости тысячу раз, то можно ожидать получения по крайней мере одной шестерки около 518 раз, а отсутствия шестерок около 482 раз. Если вы поставили деньги на выпадение по крайней мере одной шестерки, то в среднем вы будете выигрывать больше, чем проигрывать, так что к окончанию игры немного разбогатеете.

Живший в XVII веке писатель шевалье де Мэрэ был завсегдатаем как игральных заведений, так и самых модных салонов Парижа. Шевалье интересовался математической стороной происходящего за игорным столом не менее, чем своим выигрышем. В связи с этим у него возник целый ряд вопросов, на которые сам он был не в состоянии ответить. Поэтому в 1654 году он обратился к прославленному математику Блезу Паскалю. Его обращение было случайным событием, которое положило начало систематическому исследованию случайности.

Блезу Паскалю в то время был всего 31 год, но он пользовался известностью в интеллектуальных кругах уже почти два десятилетия. Уже в детстве Паскаль выказывал такие способности, что к 13 годам отец позволил ему посещать научный салон, организованный уже известным нам монахом и любителем простых чисел Мареном Мерсенном. Туда захаживали многие знаменитые математики, включая Рене Декарта и Пьера де Ферма. (Кстати, еще подростком Паскаль доказал важные теоремы из геометрии и изобрел нечто вроде механической вычислительной машины, которую назвал паскалиной.)

Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная ¹/ ₃₆вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.

Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?

Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.

Короткая переписка между Паскалем и Ферма по поводу шансов — которые они называли словом «hasard» [53] — ознаменовала переломный момент в истории науки. В ходе переписки эти господа нашли ответы на большую часть вопросов, поставленных азартным шевалье, а в процессе решения заложили основы современной теории вероятностей.

* * *

Первый вопрос шевалье де Мэрэ касался выпадения двух шестерок. Сколько раз надо бросать пару костей, чтобы появление двух шестерок стало более вероятным, чем их непоявление? При одном бросании двух костей шанс выпадения двух шестерок равен ¹/ ₃₆, что есть 0,028. Шанс получить две шестерки за два бросания пары костей есть 1 минус вероятность невыпадения двух шестерок за два бросания, то есть 1 - ( ³⁵/ ₃₆x ³⁵/ ₃₆). Это равно ⁷¹/ ₁₂₉, или 0,055. (Заметим, что шанс получить две шестерки за два бросания неравен ¹/ ₃₆x ¹/ ₃₆. Это число выражает шанс появления двух шестерок в обоих бросаниях. Вероятность же, которая нас интересует, — это шанс выпадения двух шестерок по крайней мере один раз, с учетом исходов, когда две шестерки выпадают или при первом бросании, или при втором, или при обоих. Игроку для выигрыша требуется, чтобы две шестерки выпали только один раз, а не при каждом бросании.) Шанс выпадения двух шестерок при трех бросаниях двух костей равен 1 минус вероятность их невыпадения, что в данном случае равно 1 - ( ³⁵/ ₃₆x ³⁵/ ₃₆x ³⁵/ ₃₆) = ³⁷⁸¹/ ₄₆₆₅₆, или 0,081.

53

Многозначное слово, означающее случай, случайность, судьбу, риск, опасность, а еще — игру в кости и удачу в игре (фр.). (Примеч. ред.)

Как видим, чем большее число раз бросаются кости, тем выше вероятность выпадения двух шестерок: 0,028 при одном бросании, 0,055 при двух и 0,081 при трех. Поэтому исходный вопрос можно перефразировать так: «После скольких бросаний эта дробь превысит 0,5?» — ведь вероятность, превосходящая половину, означает, что событие скорее произойдет, чем нет. Паскаль получил правильный ответ: требуется 25 бросаний. Если шевалье ставил на выпадение двух шестерок за 24 бросания, то следовало ожидать, что он потеряет деньги, но после 25 бросаний шансы начинают склоняться в его сторону, и он может рассчитывать на выигрыш.

Второй вопрос де Мэрэ — о разделении денег, стоящих на кону, — часто называют задачей о разделе ставки, и вопрос этот ставился и до того, как за него взялись Ферма и Паскаль, но правильного решения никто не нашел. Переформулируем сначала этот вопрос в терминах орлов и решек. Жан выигрывает каждый раунд, когда монета падает орлом, а Жак — когда решкой. Первый из игроков, победивший в трех раундах, забирает стоящие на кону деньги в размере 64 франков. Пусть теперь в тот момент, когда счет 2:1 в пользу Жана (два орла и одна решка), игру приходится внезапно прервать. Если такое случилось, то как самым справедливым образом поделить банк? Один возможный ответ такой: деньги должен забрать Жан, потому что он лидирует; однако при этом не учитывается, что и у Жака есть шанс выиграть. А вот другой возможный ответ: Жан должен получить вдвое больше, чем Жак; но и это не вполне справедливо, потому что счет 2:1 отражает лишь прошлые события и никоим образом не говорит о том, что случится в будущем. Способности Жана к угадыванию ничем не превосходят способности Жака. Каждый раз, когда они бросают кости, имеются шансы 50:50, что монета ляжет орлом или решкой. Наилучший — и самый справедливый — анализ состоит в том, чтобы рассмотреть, что может произойти в будущем. Если монету бросают еще два раза, то вероятные исходы таковы: