Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

Иванов Борис Федорович

7.3. Возмущения, которые необходимо учитывать при уточнении орбиты и прогнозе движения

Вычисление возможности столкновения того или иного небесного тела с Землей или иной планетой путем достаточно точного прослеживания траектории его движения на длительном интервале времени является одной из сложных и трудоемких задач вычислительной астрономии. Задача требует целесообразно полного учета действующих на тело сил и достаточно точного метода интегрирования уравнений его движения, в которых учтены все принимаемые во внимание силы. В совокупности эти факторы составляют модель движения тела. Учитываемые факторы в модели движения должны сообразовываться друг с другом. Бессмысленно учитывать в уравнениях движения малые по величине силы, если метод численного интегрирования не в состоянии обеспечить необходимую точность вычислений на всем интервале прогноза. С другой стороны, совершенно излишне использовать очень точный метод численного интегрирования, если действующие на тело силы неизвестны достаточно точно и результат влияния этих сил может на много порядков превзойти ошибку, зависящую от погрешности численного

интегрирования. Прогноз движения должен также сообразовываться со знанием начальных условий движения, которые, как правило, определяются из наблюдений, обремененных теми или иными ошибками. Без учета возможных ошибок результаты прогноза могут оказаться ложными или неполными.

Для большей конкретики рассмотрим этот вопрос на примере учета светового давления в движении астероида (99942) Апофис. Световое давление оказывает заметное влияние на движение этого сравнительно небольшого астероида (D ~ 270 м [Cellino et al., 2007]). Приближенно учет светового давления может быть выполнен по известным формулам [Аксенов, 1977], если форму поверхности астероида считать сферической и принять для него некоторые значения радиуса, плотности и коэффициента диффузного отражения поверхности.

При включении светового давления в число возмущающих факторов на двухгодичном интервале с 15 марта 2004 г. по 16 августа 2006 г. в ходе уточнения орбиты из наблюдений была найдена система элементов орбиты Апофиса. Прогнозирование движения астероида вперед на 25 лет с данной системой элементов при сохранении модели движения неизменной дает минимальное расстояние Апофиса от Земли 13 апреля 2029 г., равное 38 220 км. Если при выполнении прогноза не учитывать световое давление, то результат оказывается почти на 80 км меньше. Результаты этих вычислений понятны. Позиционные наблюдения астероида требуют учета влияния светового давления. При включении светового давления в число возмущающих факторов большая часть эффекта светового давления на наблюдения учитывается по формулам, даже если форма поверхности, масса и коэффициент диффузного отражения известны не вполне точно. Оставшаяся часть эффекта в некоторой степени учитывается подгонкой параметров орбиты к наблюдениям при их определении по методу МНК. Таким образом, включение светового давления в число возмущающих факторов является необходимым, если желательно обеспечить километровую точность прогноза.

Какие еще возмущения следует учитывать при определении орбиты из наблюдений и при прогнозировании движения опасного тела? Совершенно очевидно, что следует учитывать гравитационные возмущения тела от больших планет Солнечной системы и Луны. Для получения координат и скоростей планет, Земли и Луны в настоящее время повсеместно используются численные эфемериды этих тел, публикуемые Лабораторией реактивного движения (ЛРД) НАСА (DE405/LE405 [Standish, 2000] и более поздние промежуточные версии). Численные эфемериды того же уровня точности EPM2004, EPM2006, EPM2008 созданы и постоянно совершенствуются в Институте прикладной астрономии РАН [Питьева, 2005; 2007]. В основе всех этих численных теорий лежат релятивистские (составленные на основе общей теории относительности) уравнения движения больших планет, Солнца и Луны относительно барицентра Солнечной системы [Расширенное объяснение к Астрономическому ежегоднику, гл. 6, 2005]. Многочисленные параметры теории движения (их около 200) определяются из высокоточных радарных наблюдений внутренних планет, радионаблюдений КА, лазерных наблюдений Луны и оптических наблюдений планет и спутников, полученных за последние 100 лет. В уравнения движения тел включены возмущения, вызываемые сжатием Солнца, и возмущения от 300 наиболее массивных астероидов. Найденные значения параметров теории прошли многочисленные перекрестные проверки и сравнения. Точность теории DE405 оценивается величиной порядка 1 км для внутренних планет. Надо отметить, что для разных планет и Луны численные эфемериды обеспечивают различную точность. Некоторое представление о точности координат планет, вычисляемых по этим эфемеридам, можно составить, сравнивая между собой максимальные различия значений гелиоцентрических расстояний планет, вычисляемых по теориям, созданным в разных организациях. Так, например, на интервале с 1960 г. по 2020 г. модуль разности этих величин, вычисляемых по DE405 и EPM2006, для Венеры не превышает 180 м, для Земли — 26 м, для Марса — 120 м, для Юпитера — 16 км [Питьева, 2007]. Более поздние версии эфемерид обнаруживают еще меньшие различия.

Вопрос о том, насколько сказывается неточность используемых координат возмущающих планет, Земли и Луны на прогнозе столкновений опасных космических тел с Землей, может быть исследован на примере все того же опасного астероида Апофис. С этой целью следует провести уточнение параметров орбиты астероида и последующее прогнозирование его движения дважды: один раз с использованием, например, численной эфемериды DE405, а второй раз с использованием более современной эфемериды DE414. Такие вычисления были выполнены в ЛРД [Giorgini et al., 2008] и в ИПА РАН на основе несколько различающихся моделей движения. Из результатов этих вычислений следует, что различие между DE405 и DE414 оказывает заметное влияние на координаты Апофиса в апреле 2029 г. Разница расстояний до центра Земли, рассчитанная с применением этих двух теорий, на входе в сферу действия Земли составляет всего –0,597 км. Та же величина, рассчитанная в момент наибольшего сближения тел с Землей, составила уже +3,2 км. Это различие продолжает стремительно возрастать при переходе к сближению в апреле 2036 г., когда оно уже составляет 136 000 км. Причина заключается в том, что в ходе тесного сближения в апреле 2029 г. Земля оказывает очень разное воздействие на тела, движущиеся по орбитам с минимальными геоцентрическими расстояниями, различающимися всего на несколько километров. Пучок орбит с почти одинаковыми геоцентрическими расстояниями после тесного сближения расходится

своеобразным веером, вследствие чего точность последующего предсказания резко снижается. Это весьма неприятная особенность тесных сближений, поскольку близкие прохождения астероидов около Земли чреваты повторными сближениями с ней спустя всего лишь несколько лет (см. раздел 7.7.1), и надо уметь заранее предвычислять эти сближения. Потеря точности при тесных сближениях предъявляет весьма суровые требования к точности исходной орбиты.

Выше было отмечено, что теории DE и EPM в настоящее время строятся с учетом возмущений от 300 малых планет. Однако учет этих возмущений оказывает незначительное влияние на движение Земли, Луны и других планет. Поэтому при исправлении орбит подавляющего числа потенциально опасных астероидов и при прогнозе их движения целесообразно включать в число возмущающих планет только большие планеты (возмущения от Земли и Луны учитываются раздельно) и три наиболее массивных астероида: Цереру (которая в настоящее время рассматривается как карликовая планета), Палладу и Весту. Точность, с которой вычисляются координаты трех последних тел, не является при этом критически важной. Величины возмущающих масс, обязательные для использования для всех возмущающих тел, указываются в описаниях соответствующих теорий.

Влияние несферичности гравитационного поля Земли на движение Апофиса до и после сближения 2029 г. исследовалось численным образом в работе [Giorgini et al., 2008]. При отсутствии тесных сближений с Землей влияние ее несферичности на движение астероида является минимальным. Однако прогноз сближения в 2036 г. при использовании сферической модели Земли дает ошибку порядка 19 000 км по сравнению с прогнозом, учитывающим ее сжатие. Прочие зональные гармоники вносят возмущения, по крайней мере, на три порядка меньшие. Долготная вариация гравитационного поля Земли приводит к уклонению порядка 100 км в 2036 г.

Влияние возмущений, вызываемых тепловым излучением астероида (эффект Ярковского), рассмотрено в разделе 7.7.6.

Обратимся теперь к проблеме численного интегрирования уравнений движения малых тел. Существует большое число методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения, способных обеспечить достаточно высокую точность прогноза движения опасного астероида на длительных интервалах времени (см., напр., [Бордовицына, 1984; Бордовицына, Авдюшев, 2007]). В различных организациях для этой цели используются методы Булирша — Штера, Эверхарта, Рунге — Кутты — Фельберга, Адамса и другие. В ЛРД НАСА на протяжении многих лет широко используется метод с переменным шагом Адамса — Крога для интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка [Krogh, 1968; 1974]. Метод применяется при построении численных эфемерид больших планет и Луны при проведении многочисленных космических экспедиций к телам Солнечной системы. Он многократно доказал свою точность и эффективность. Метод реализован с двукратной точностью (ошибка порядка 10^{– 14} на каждом шаге) и даже четырехкратной точностью (ошибка порядка 10^{– 19} на одном шаге). Правда, четырехкратная точность требует примерно в 30 раз больше компьютерного времени.

В ИПА РАН при построении численных эфемерид больших планет и Луны, как и при расчетах эфемерид малых тел, широко используется метод численного интегрирования Эверхарта [Everhart, 1974a; 1974b], интегратор RADAU с двойной точностью. Метод позволяет, в частности, интегрировать уравнения вида

 (зависимость правых частей от

 появляется при учете релятивистских членов и негравитационных эффектов). Метод дает возможность вести вычисления с различной точностью в зависимости от учитываемого числа членов в разложениях и числа последовательных приближений на одном шаге.

Интересно получить ответ на вопрос, какая часть ошибки прогноза на 2029 г. и на 2036 г. может быть связана с ошибками численного интегрирования. Представление об этом дают «ошибки замыкания», вычисляемые при интегрировании уравнений движения Апофиса на различных интервалах времени при задании различных порядков интегрирования. Под ошибкой замыкания понимается модуль разности между исходным значением гелиоцентрического радиуса-вектора астероида и его окончательным значением в тот же самый момент, если интегрирование выполняется от исходной эпохи до конечной, а затем назад к исходной. Исследование было выполнено на трех интервалах: 1) от 2007 г. до 12 апреля 2029 г. (до входа Апофиса в сферу действия Земли); 2) от 2007 г. до момента наибольшего сближения Апофиса с Землей в 2029 г.; 3) от 2007 г. до 2036 г. Оказалось, что выбор порядка интегрирования слабо влияет на достигаемую точность. На первом интервале ошибка замыкания не превышает или равна 10^{– 11} а.е., что вполне достаточно для сравнения вычисляемых положений с наблюдаемыми не только для оптических, но и для радиолокационных наблюдений. Погрешность вычисления геоцентрического расстояния астероида, зависящая от численного интегрирования, на границе сферы действия (до сближения в 2029 г.) составляет 2 x 10^{– 5} км. Точность вычислений заметно снижается при тесном сближении (второй интервал). Ошибка замыкания возрастает до 10^{– 8} а.е., но минимальное расстояние от Земли вычисляется с точностью до 30 см (ошибка, зависящая только от численного интегрирования). Наконец, к концу третьего интервала после сближения в 2029 г. координаты астероида вычисляются с ошибками порядка нескольких километров, а ошибка замыкания на этом интервале возрастает до 10^{– 7} а.е. Таким образом, численное интегрирование не вносит существенных ошибок в вычисляемые положения на рассматриваемых интервалах.