Азбука рисунков природы

Зимов Сергей Афансьевич

Мы отметили четыре механизма, обеспечивающих появление пространственно-периодических структур.

1. Наследование, повторение элементами новой структуры порядка другой структуры (повседневный пример — использование линейки для разметки бумаги).

2. «Подгонка» элементов путем их многократного смещения в положение, равноудаленное от соседних элементов.

3. Последовательное деление пространственного отрезка и вновь образующихся частей пополам.

4. Последовательное причленение нового элемента к предыдущему через равные интервалы.

А теперь подумайте, как вы поступите, если потребуется разложить бусинки на линии так, чтобы расстояние между ними было одинаково. Вы воспользуетесь одним из этих четырех способов.

В завершение раздела отметим условие, обеспечивающее закономерное пространственное взаиморасположение элементов за счет самоорганизации. Закономерное взаиморасположение —

это когда элементы закономерно влияют на положение друг друга. Для этого должен быть механизм взаимовлияния, и элементы должны или находиться на расстоянии, обеспечивающем взаимовлияние, и быть подвижными, или последовательно появляться в зоне влияния предыдущих. Предыдущие элементы при этом будут задавать местоположение последующих. В обоих случаях самоорганизация — процесс, разворачивающийся во времени. Это условие необходимое, но недостаточное. Капли дождя падают последовательно, но нет механизма взаимовлияния. В итоге в рисунке мокрых точек на асфальте нет порядка.

Орнамент из точек

Рисунки этого раздела идеализировано можно представить в виде точек, расположенных на плоскости. Это сурчины в степи, муравейники в лесу, вулканы на дне океанов и т. п. Элементы всех этих рисунков возникают там, где значения соответствующего потенциала достигают порогового уровня. В одномерном случае пространственное распределение пороговой и потенциальной функций мы графически выражали в виде линии. В двухмерном же случае эти функции можно представить некоторыми поверхностями, рельефами, у которых высотные отметки соответствуют значениям этих функций. При воздымании потенциального рельефа в какой-то момент он упрется в пороговый рельеф. В этой точке выполнится условие Е = Р и появится первый элемент. В сложных случаях это могут быть сильно расчлененные рельефы с множеством острых вершин, гребней, впадин. В этом случае процессы самоорганизации не проявятся. Здесь появление большинства элементов будет определено максимумами потенциальной функции (вершинами ее рельефа) и (или) минимумами пороговой (ее впадинами). Поэтому будем рассматривать относительно простые внешние условия — малорасчлененные рельефы. Простейший случай — это две горизонтальные плоскости, одна из которых (потенциальная) поднимается, приближаясь к пороговой. В такой ситуации заложение первого элемента может произойти равновероятно в любом месте рассматриваемого пространства, везде одновременно выполнится условие Е = Р.

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Примем, что появление элемента мгновенно изменяет (разгружает) потенциальную функцию и в ее рельефе возникает впадина в виде перевернутого конуса радиусом r, т. е. зона разгрузки имеет конечные размеры и ее величина уменьшается при удалении от структурного элемента линейно. Вслед за первым элементом в случайных местах за пределами зон разгрузки будут возникать и другие структурные элементы, и в скором времени все пространство будет перекрыто их зонами разгрузки. В итоге сформируется структура, подобная изображенной на рис. 34. Расстояние между любым ее элементом и ближайшим соседним будет везде больше r, но меньше 3r.

Рельеф поверхности потенциальной функции после ее разгрузки структурными элементами станет сильно расчлененным, появится множество острых вершин, соединенных седлообразными гребнями. Причем вершины будут расположены на одинаковом расстоянии от трех ближайших структурных элементов — в центре условно соединяющего их треугольника (рис. 35). При наращивании значений потенциальной функции, т. е. при воздымании рельефа потенциальной поверхности, эти вершины будут последовательно достигать порогового уровня, и в этих точках произойдет заложение структурных элементов второй генерации. Мы видим, что и в двухмерном случае элементы новой генерации закладываются на равном расстоянии от элементов предыдущей генерации — в элементарных ячейках малоупорядоченной первой генерации появляется строгая упорядоченность.

Теперь при тех же условиях зададим, что разгрузка потенциальной функции вблизи структурного элемента неравномерна по направлениям, т. е. основание конуса разгрузки не круг, а эллипс, длинная ось которого ориентирована, допустим, вдоль пространственной координаты x, а короткая — y (рис. 36). Тогда в образовавшейся структуре расстояние между соседними элементами в направлении x будет варьировать от r_x до 2r_x, а в направлении y — от r_y до 2r_y.

Можно задать и более сложную зону разгрузки, например такую, какая изображена на рис. 37. В этом случае расстояние между элементами в каком-либо направлении xy будет варьировать от r'_xy до r'_xyy + r''_xy.

Зададим новые условия: пороговый рельеф также плоский и горизонтальный, а потенциальный имеет гребень, по обе стороны от которого высота рельефа линейно убывает. Основание конуса разгрузки, как и в первых примерах, примем в виде круга. Примем, что линия гребня горизонтальна. Тогда при равномерном воздымании потенциального рельефа этот гребень одновременно на всем своем протяжении достигнет пороговой поверхности и на нем возникнут элементы. Этот этап, по сути, — ранее рассмотренная одномерная задача, в которой, как помним, структурные элементы на гребне располагались один от другого на расстоянии от r до 2r. После их заложения на потенциальном рельефе вместо гребня образуется цепочка углублений, окруженная симметричными извилистыми гребнями с острыми вершинами (рис. 38). Чем дальше один от другого расположены соседние структурные элементы, тем выше образовавшиеся при этом вершины и тем ближе они расположены к линии первоначального гребня.

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

При воздымании потенциального рельефа на месте этих вершин будут образовываться ряды новых элементов. Все они будут равноудалены от двух ближайших первоначальных элементов на расстояние r. Видим, что появление смещающейся границы обусловило упорядоченность в направлении ее смещения. Расстояние между соседними новыми элементами — расстояние в направлении простирания первоначального гребня — выдержанным не будет, оно может измениться от r до 2r, в этом направлении смещения границы не было. Если первоначальные элементы на оси гребня расположены относительно плотно, то и новые структурные элементы на этом участке будут в направлении гребня плотно упакованы (см. рис. 38). Если соединить отрезками элементы, то получится множество равнобедренных треугольников, заметно ориентированных вдоль оси гребня, т. е. неплотная упаковка первоначальных элементов на гребне сказывается на рисунке — он в этом районе разуплотнен в этом направлении и соответственно переуплотнен в перпендикулярном.

На первый взгляд может представиться, что структура, образовавшаяся при симметричном относительно гребня наращивании значений потенциальной функции, будет также симметричной. На многих участках в окружении оси гребня это действительно будет так. Это позволяет при дешифровке структуры выделять первоначальную ось. Однако если расстояние между структурными элементами, лежащими на оси гребня, где-то будет больше 3r, то расстояние между двумя симметричными вершинами, появившимися между этими элементами, будет меньше r, и поэтому при возникновении на одной из этих вершин элемента другая вершина, лежащая по другую сторону гребня, попадает в зону разгрузки этого элемента и исчезает; в результате симметричный рисунок на этом участке появиться не может.

Теперь представим такую ситуацию: структурные элементы на оси гребня по какой-либо причине расположились на одинаковом расстоянии, допустим через интервал 3/2r (рис. 39). В этом случае равномерное наращивание значений потенциальной функции приведет к образованию строго упорядоченной структуры, у которой расстояние между элементами в направлении вдоль гребня будет везде равно 3/2r (см. рис. 39).

Зададим новый рельеф потенциальной функции. Пусть также будет протяженный гребень, но на нем есть вершина, при удалении от которой отметки гребня линейно снижаются. Этот рельеф в виде изолиний отражен на рис. 40, а. Сечение принятого рельефа имеет очертания ромба, т. е. перпендикулярно гребню идет второй менее выраженный гребень.