Большая Советская Энциклопедия (ЧИ)

Большая Советская Энциклопедия

Изучение неопределённых уравнений, и в первую очередь уравнения Ферма, привело к созданию нового раздела Ч. т. — теории алгебраических чисел. Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, пришёл к равенству

где a_i — корни n– й степени из единицы. Рассматривая числа вида z + a_i y , где z и у — целые, как «новые целые числа», Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного a_i , т. е. множества чисел, которое получается из a_i путём применения к нему всех четырёх арифметических

операций. Если бы в таком поле выполнялась теорема о единственности разложения целых чисел на простые сомножители, то тогда записанное выше равенство давало бы противоречие. Однако это не всегда так. Э. Куммер, чтобы сохранить справедливость этой теоремы, ввёл т. н. идеальные множители. Возник ряд проблем, решение которых привело к алгебраической теории чисел с большим количеством новых понятий и результатов.

Вместе с изучением свойств целых чисел возникло и стало развиваться новое направление Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что корни квадратные из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математическую формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел и трансцендентных чисел . Оказывается, алгебраические числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Ж. Лиувилль доказал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n , то, приближаясь к нему дробями вида P/Q , где Р и Q — целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q^¾n к нему нельзя (теорема Лиувилля). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебраич. чисел, которые стали называть трансцендентными. Например, таким будет число

Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классических постоянных p и е . В конце 19 — начале 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причём для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.

Теория алгебраических чисел разделилась на два направления: одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитом (1873), доказавшим трансцендентность числа e , и немецким математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа p и тем самым решившим задачу о квадратуре круга . Во втором — А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью которого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраическому числу нельзя подойти существенно ближе чем Q^{¾n/ 2}. Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения

a xn + a1 xn¾1 y+... + an¾1 xyn¾1 + an yn =А ,

где a , a₁ ,... , a_n , А — целые числа, n ³ 3.

Дальнейшее изучение простых чисел привело к новому методу в Ч. т., связанному с функцией x (s ). Б. Риман доказал, что дзета-функция x (s ) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного, является аналитической в каждой точке плоскости, за исключением s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1, удовлетворяет функциональному уравнению x(s )= x(1¾s ), где

Г (s ) —

гамма-функция, и имеет бесконечно много нулей в полосе 0 lb Res = 1 (эти нули называют нетривиальными, а полосу — критической). Он установил тесную связь между нетривиальными нулями x (s ) и асимптотическим поведением p(х ). Изучение асимптотической формулы для функции Чебышева

где L(n ) = lnp , если n = р^к L(n )= 0, если n ¹ p^k , эквивалентно такой же задаче для функции p(х ). Функция Y(х ) может быть выражена через интеграл от производящей функции — xc(s )/ x(s ):

Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули x (s ) лежат на прямой Res = ¹ /₂ , из чего следует, что

y(x )=x + O (

ln²x ),

Из справедливости любой из последних формул следует гипотеза Римана. По аналогичной схеме были изучены L– ряды Дирихле. В 1896 Ш. Ла Валле Пуссен и Ж. Адамар доказали, что x(s ) ¹ 0 в области Res ³ 1, откуда следовала формула (асимптотический закон распределения простых чисел)

Кроме этого, Ш. Ла Валле Пуссен доказал, что x(s ) ¹ 0 в области

и что

где с и c₁ — положительные постоянные. Такой же результат был получен им и для простых чисел в арифметических прогрессиях: если p(х , k , l ) — число простых чисел вида kn + 1, n lb х , k и l— взаимно простые числа, то

Метод получения асимптотических формул для p(х ), Y(х ), p(х , k , l ), названный методом комплексного интегрирования, нашёл многочисленные применения. Основой этого метода служит формула

Теория квадратичных форм, начатая работами Л. Эйлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продолжала своё развитие в работах А. Н. Коркина , Е. И. Золотарёва и А. А. Маркова . В частности, А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв доказали теорему: переменным любой положительной кватернарной квадратичной формы определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы не будет превосходить величины

, и существуют такие формы, минимумы которых равны

. Примером такой формы является следующая: