Большая Советская Энциклопедия (ГЕ)
Шрифт:
Основные типы отношений, которые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию «пространств» современной Г., следующие:
1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется ещё никакой «геометрии», оно не становится пространством. Однако, если выделены некоторые специальные фигуры (множества точек), то «геометрия» пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной Г.; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.
Тот же принцип выделения некоторых специальных множеств позволяет определить понятие топологического пространства — пространства, в котором в качестве специальных множеств выделены «окрестности» точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности дальнейших требований определяет тот или иной тип топологических пространств). Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с некоторым множеством, то такая точка называется точкой прикосновения этого множества. Два множества можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки прикосновения
2) Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования представляет введение координат. Многообразием называется такое (связное) топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из n действительных чисел x1, x2,(, xn. Число n есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геометрических теорий, являются многообразиями; простейшие геометрические фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т.п.) обычно — куски многообразий. Если среди всех систем координат, которые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитическими функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет т. н. дифференциальной топологии. В собственно Г. они наделяются дополнительными свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемости их преобразований дают почву для широкого применения аналитических методов — дифференциального и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа (см. Векторное исчисление, Тензорное исчисление). Совокупность теорий Г., развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную Г.; простейшим случаем её служит классическая теория гладких кривых и поверхностей, которые представляют собою не что иное, как одно- и двумерные дифференцируемые многообразия.
3) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. «Геометрия» такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Поэтому с точки зрения такой Г. фигуры можно считать «равными», если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы. Например, евклидова Г. изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная Г. — свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология — свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная Г. и др. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование; например, аффинные преобразования определяются как линейные: x'i = ai1x1 + ai2x2 +¼+ ainxn, i = 1, ¼, n). Поэтому общим аппаратом разработки таких «геометрий» служит теория непрерывных групп преобразований. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно которой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, которые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, которая требует одинакового выражения физических законов в разных системах координат, называемых в физике системами отсчёта.
4) Другой общий принцип определения пространств, указанный в 1854 Риманом, исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство — это гладкое многообразие, в котором задан закон измерения расстояний, точнее длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задаётся дифференциал длины дуги кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть обобщение внутренней Г. поверхностей, определённой Гауссом как учение о свойствах поверхностей, которые могут быть установлены измерением длин кривых на ней. Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в которых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой; см. Римановы геометрии). Такое пространство, следовательно, евклидово в бесконечно малом, но в целом оно может не быть евклидовым, подобно тому как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются частным случаем этой римановой Г. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию общего метрического пространства как такого множества элементов, в котором задана «метрика», т. е. каждой паре элементов отнесено число — расстояние между ними, подчинённое только очень общим условиям. Эта идея играет важную роль в функциональном анализе и лежит в основе некоторых новейших геометрических теорий, таких, как внутренняя Г. негладких поверхностей
5) Соединение идеи Римана об определении «геометрии» в бесконечно малых областях многообразия с определением «геометрии» посредством группы преобразований привело (Э. Картан, 1922—25) к понятию о таком пространстве, в котором преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому говорят о пространствах со «связностью» того или иного типа. В частности, пространства с «евклидовой связностью» суть римановы. Дальнейшие обобщения восходят к понятию о пространстве как о гладком многообразии, на котором задано вообще «поле» какого-либо «объекта», которым может служить квадратичная форма, как в римановой Г., совокупность величин, определяющих связность, тот или иной тензор и др. Сюда же можно отнести введённые в недавнее время т. н. расслоенные пространства. Эти концепции включают, в частности, связанное с теорией относительности обобщение римановой Г., когда рассматриваются пространства, где метрика задаётся уже не положительной, а знакопеременной квадратичной формой (такие пространства также называют римановыми, или псевдоримановыми, если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства являются пространствами со связностью, определённой соответствующей группой, отличной от группы евклидовых движений.
На почве теории относительности возникла теория пространств, в которых определено понятие следования точек, так что каждой точке Х отвечает множество V (X) следующих за нею точек. (Это является естественным математическим обобщением следования событий, определённого тем, что событие Y следует за событием X, если Х воздействует на Y, и тогда Y следует за Х во времени в любой системе отсчёта.) Т. к. само задание множеств V определяет точки, следующие за X, как принадлежащие множеству V (X), то определение этого типа пространств оказывается применением первого из перечисленных выше принципов, когда «геометрия» пространства определяется выделением специальных множеств. Конечно, при этом множества V должны быть подчинены соответствующим условиям; в простейшем случае — это выпуклые конусы. Эта теория включает теорию соответствующих псевдоримановых пространств.
6) Аксиоматический метод в его чистом виде служит теперь либо для оформления уже готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными специальными множествами. Если же тот или иной тип более конкретных пространств определяют, формулируя их свойства как аксиомы, то используют либо координаты, либо метрику и др. Непротиворечивость и тем самым осмысленность аксиоматической теории проверяется указанием модели, на которой она реализуется, как это впервые было сделано для геометрии Лобачевского. Сама модель строится из абстрактных математических объектов, поэтому «окончательное обоснование» любой геометрической теории уходит в область оснований математики вообще, которые не могут быть окончательными в полном смысле, но требуют углубления (см. Математика, Аксиоматический метод).
Перечисленные принципы в разных сочетаниях и вариациях порождают обширное разнообразие геометрических теорий. Значение каждой из них и степень внимания к её задачам определяются содержательностью этих задач и получаемых результатов, её связями с др. теориями Г., с др. областями математики, с точным естествознанием и задачами техники. Каждая данная геометрическая теория определяется среди других геометрических теорий, во-первых, тем, какое пространство или какого типа пространства в ней рассматриваются. Во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры. Так различают теории многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел и т.д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином пространстве. Например, можно рассматривать теорию многогранников в обычном евклидовом пространстве, в n– мерном евклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского и др. Можно развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского и т.д. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур. Так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях; можно различать учение о кривизне поверхностей, учение об изгибаниях (т. е. о деформациях, не меняющих длин кривых на поверхности), внутреннюю Г. Наконец, в определение теории можно включать её основной метод и характер постановки задач. Так различают Г.: элементарную, аналитическую, дифференциальную; например, можно говорить об элементарной или аналитической Г. пространства Лобачевского. Различают Г. «в малом», рассматривающую лишь свойства сколь угодно малых кусков геометрического образа (кривой, поверхности, многообразия), от Г. «в целом», изучающей, как ясно из её названия, геометрические образы в целом на всём их протяжении. Очень общим является различение аналитических методов и методов синтетической Г. (или собственно геометрических методов); первые используют средства соответствующих исчислений: дифференциального, тензорного и др., вторые оперируют непосредственно геометрическими образами.
Из всего разнообразия геометрических теорий фактически более всего развиваются n– мерная евклидова Г. и риманова (включая псевдориманову) Г. В первой разрабатывается, в особенности, теория кривых и поверхностей (и гиперповерхностей разного числа измерений), причём особое развитие получает исследование поверхностей «в целом» и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся в классической дифференциальной Г.; сюда же включаются многогранники (многогранные поверхности). Затем нужно назвать теорию выпуклых тел, которая, впрочем, в большой части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, т.к. тело определяется своей поверхностью. Далее — теория правильных систем фигур, т. е. допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя и какую-либо её фигуру в любую другую (см. Федоровские группы). Можно отметить, что значительное число важнейших результатов в этих областях принадлежат сов. геометрам: очень полная разработка теории выпуклых поверхностей и существенное развитие теории общих невыпуклых поверхностей, разнообразные теоремы о поверхностях в целом (существования и единственности выпуклых поверхностей с заданной внутренней метрикой или с заданной той пли иной «функцией кривизны», теорема о невозможности существования полной поверхности с кривизной, всюду меньшей какого-либо отрицательного числа, и др.), исследование правильного деления пространства и др.