Чтение онлайн

на главную

Жанры

Большая Советская Энциклопедия (РИ)
Шрифт:
пространства EA таких координат, что в них квадрат линейного элемента
 евклидова пространства EA выражается в точке A такой же формой
, какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2 в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой

 (i = 1, …, n,
)
в римановом пространстве R определяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние r(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

3) Объём Vn– мерной области G риманова пространства определяется по формуле:

 где
.

Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

,

где Гijk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора gij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкарев 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.

Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x1,..., xn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и dso евклидова пространств будет такая связь:

+
,
где
 при

i = 1, …, n.

откуда следует, что разность ds — dso имеет порядок не ниже, чем

.

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь через gik, и их производные до второго порядка.

Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности UL в евклидово пространство ELпри котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi= xi (t) определяется дифференциальным уравнением

.

Если

, то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической — прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM' кривой L. При стремлении M' к М существует предел

,

который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой xI= xi (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

Поделиться:
Популярные книги

Идеальный мир для Лекаря 12

Сапфир Олег
12. Лекарь
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 12

Повелитель механического легиона. Том I

Лисицин Евгений
1. Повелитель механического легиона
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Повелитель механического легиона. Том I

Воевода

Ланцов Михаил Алексеевич
5. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Воевода

«Три звезды» миллиардера. Отель для новобрачных

Тоцка Тала
2. Три звезды
Любовные романы:
современные любовные романы
7.50
рейтинг книги
«Три звезды» миллиардера. Отель для новобрачных

Мой любимый (не) медведь

Юнина Наталья
Любовные романы:
современные любовные романы
7.90
рейтинг книги
Мой любимый (не) медведь

Сопряжение 9

Астахов Евгений Евгеньевич
9. Сопряжение
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
технофэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Сопряжение 9

Сержант. Назад в СССР. Книга 4

Гаусс Максим
4. Второй шанс
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Сержант. Назад в СССР. Книга 4

Табу на вожделение. Мечта профессора

Сладкова Людмила Викторовна
4. Яд первой любви
Любовные романы:
современные любовные романы
5.58
рейтинг книги
Табу на вожделение. Мечта профессора

Довлатов. Сонный лекарь 2

Голд Джон
2. Не вывожу
Фантастика:
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Довлатов. Сонный лекарь 2

70 Рублей - 2. Здравствуй S-T-I-K-S

Кожевников Павел
Вселенная S-T-I-K-S
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
70 Рублей - 2. Здравствуй S-T-I-K-S

Провинциал. Книга 4

Лопарев Игорь Викторович
4. Провинциал
Фантастика:
космическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Провинциал. Книга 4

Горничная для тирана

Шагаева Наталья
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Горничная для тирана

Вечный. Книга IV

Рокотов Алексей
4. Вечный
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Вечный. Книга IV

Как я строил магическую империю 3

Зубов Константин
3. Как я строил магическую империю
Фантастика:
попаданцы
постапокалипсис
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Как я строил магическую империю 3