Большая Советская Энциклопедия
Шрифт:
Далее, выполнение законов специальной теории относительности (релятивистская инвариантность, или лоренц-инвариантность) даёт возможность сформулировать принцип микропричинности для элементарных процессов С. в. (см. Микропричинности условие). Согласно специальной теории относительности, два события, разделённые пространственно-подобным интервалом, не могут быть причинно-связанными (т. к. расстояние между событиями в этом случае больше, чем путь, который может быть пройден любым сигналом за интервал времени между событиями). Если же события разделены времениподобным интервалом, то только события, предшествующие по времени данному событию, могут явиться его причиной. Такая общая форма принципа микропричинности накладывает определённые ограничения на аналитическую структуру функций, описывающих причинно-связанные события. Это было замечено ещё в классической электродинамике сплошных сред при описании зависимости диэлектрической проницаемости e вещества (а следовательно, и показателя преломления волн) от частоты w электромагнитного поля, e (w) (т. н. дисперсия). Для переменных полей значение электрической индукции D (t) в некоторый момент времени t определяется значениями напряжённости электрического поля Е в предшествующие моменты времени t' (согласно принципу причинности,
В этом выражении f (t– t’) — функция, которая определяется внутренним строением диэлектрика. Её конкретное выражение для дальнейших выводов несущественно; важно лишь, что в силу трансляционной инвариантности по времени, т. е. независимости от выбора начала отсчёта времени, функция f (t — t') зависит только от разности времён (t– t'). При этом в соответствии с принципом причинности интегрирование по t' ведётся до момента t.
Для компонент Фурье (см. Фурье интеграл) D (w) и Е (w) величин D (t) и E (t) будет иметь место соотношение:
D (w) = e (w) Е (w), (3),
где диэлектрическая проницаемость e (w) представляет собой комплексную функцию и равна:
пределы интегрирования t ³ 0 вытекают из условия причинности. Соотношение (4), определённое для действительных значений w, может быть продолжено в область комплексных значений переменного аргумента со. Если положить w = w’ + iw’’, где w’ и w’’ — действительные числа, определяющие соответственно действительную и мнимую части w, то в интеграле выражения (4) возникает множитель е– w''t, обеспечивающий сходимость интеграла при (w’’ > 0,
где символ Р означает т. н. главное значение интеграла, т. е. исключающее особую точку w' = w. Существенно, что реальная и мнимая части e(w) могут быть непосредственно измерены на опыте [Im e(w) связана с поглощением электромагнитных волн].
Установление аналитических свойств амплитуды рассеяния частиц представляет значительно более сложную задачу. Основополагающие работы в этом направлении были сделаны Н. Н. Боголюбовым на основе сформулированного им для метода S– мaтрицы принципа микропричинности. Рассмотрим реакцию упругого рассеяния, в результате которой две частицы «а» и «b» с начальными четырёхмерными импульсами pa и pb переходят в состояние с четырёхмерными импульсами соответственно р’а и p'b [четырёхмерный импульс частицы включает энергию частицы Е и её пространств, импульс р, а квадрат четырёхмерного импульса (p 2) в единицах измерения, в которых скорость света с = 1, определяется как p 2 = Е 2 – p 2 и равен квадрату массы частицы: p 2 = M 2]. Закон сохранения энергии и импульса в реакции рассеяния может быть записан в виде равенства pa + pb = p'a + р’b. Наиболее просто упругое рассеяние частиц выглядит в с. ц. и. сталкивающихся частиц. В этой системе pa + pb = p'a + p’b = 0, т. е. импульсы частиц после столкновения направлены в противоположные стороны и равны по абсолютной величине начальным импульсам:
|pa| = |pb| = |p’a| = |р’b| (см. рис. 2).
Амплитуда рассеяния является функцией двух переменных: энергии системы Е и угла J, на который в результате рассеяния отклоняется одна из частиц. Эти переменные могут быть выражены через 2 независимые релятивистски инвариантные величины
s = (pa + pb)2 = (p’a + p’b)2,
t = (p’a – pa)2 = (p’b – pb)2.
В с. ц. и. величина s равна квадрату полной
u= (р’b – pa)2 = (р’b – pb)2, (6’)
которая в силу закона сохранения энергии-импульса связана с величинами s и t соотношением: s + t + u = 2ma + 2mb, где ma, mb — массы частиц «а» и «b». В процессах упругого рассеяния частиц область изменения величины s ограничена неравенством s ³ (ma + mb), а область изменения t — неравенствами 0 > t > -4p 2. Эту область изменения переменных называется физической областью. Амплитуда рассеяния при фиксированной передаче импульса t может быть продолжена в комплексную область по энергетической переменной s и оказывается связанной с амплитудой рассеяния античастиц. Эта связь заключается в следующем. Рассмотрим наряду с реакцией упругого рассеяния какого-либо частиц, например p±– мезонов на протонах:
p+(p) + р (q) ® p+(p') + р (q') (I)
(в скобках указаны четырёхмерные импульсы частиц), реакцию рассеяния
p– (-р) + р (q) ® p– (-p’) + р (q), (II)
получающуюся из (1) переносом символа p-мезона из одной части равенства в другую с одновременной заменой частицы (p+) на античастицу (p– ) и знаков их четырёхмерных импульсов: р ® -р, p' ® -p'. При переходе от процесса (I) к процессу (II) переменная t остаётся неизменной, а s и и меняются местами. Физической области обоих процессов соответствуют двум различным неперекрывающимся областям изменения кинематических переменных s, и. Доказательство Боголюбовым аналитичности амплитуды в комплексной плоскости переменной s позволяет утверждать, что амплитуды процессов I и II являются предельными значениями единой аналитической функции Ft (s) в разных областях изменения переменной s с разрезами на вещественной оси (рис. 4). Правый разрез определяется условием s ³ (М + m)' (где М и m, — массы протона и пиона), а левый разрез — условием u = 2M 2 + 2m2– s– t ³ (M + m2). На «верхнем берегу» правого разреза Ft (s) совпадает с амплитудой T (s, t) процесса (I):
а на «нижнем берегу» левого разреза — с амплитудой процесса (II):
Отсюда вытекает соотношение т. н. перекрёстной симметрии (или кроссинг-симметрии):
Это соотношение связывает значение амплитуды одного процесса в его физической области со значением амплитуды др. процесса вне физической области последнего. Поэтому соотношение перекрёстной симметрии не имело бы смысла, если бы не существовало продолжения амплитуды процесса (1) из его физической области на левый разрез.
Для определения особых точек аналитической функции Ft (s) важнейшее значение имеет продолжение условия унитарности S– maтрицы в «нефизическую» область кинематических переменных (лежащую вне «физических» областей, определяемых законами сохранения энергии и импульса для начальных и конечных состояний). Так, если две частицы «а» и «b» могут переходить в результате С. в. в виртуальную частицу «с»: а + b ® с, то из условия унитарности следует, что амплитуда процесса рассеяния а + b ® а + b будет иметь полюс по переменной s при значении s = mc2, где mc — масса частицы «с». Этот полюс при mc < ma + mb лежит в «нефизической» области процесса упругого рассеяния а + b ® а + b [«физическая» область, как уже отмечалось, начинается с s = (ma + mb)2]. Если же mc > ma + mb, частица «с» нестабильна относительно распада (за счёт С. в.) с ® а + b, т. е. является резонансом, и полюс амплитуды расположен на «нефизическом» листе римановой поверхности, соответствующем аналитическому продолжению амплитуды через разрез в комплексной плоскости s (см. Аналитические функции).