? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Шрифт:
Успехи греков в математике во многом были прямым следствием страсти к познанию ради познания, а не ради практических целей. Рассказывают, что один ученик Евклида, изучив вместе с ним некую теорему, спросил: «А что я с этого получу?» Евклид приказал рабу дать мальчику медную монету, чтобы тот увидел, что наука и в самом деле занятие прибыльное.
Образование государственного деятеля во времена Платона должно было включать в себя арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию и музыку – и все это, как рассказывает нам пифагореец Архит, подпадало под общее название «математика». По легенде, когда Александр Великий спросил своего учителя Менехма (которому приписывают открытие эллиптической кривой, параболы и гиперболы), нельзя ли изучить геометрию как-нибудь поскорее, получил ответ: «О повелитель, в странствиях по нашему царству можно найти дороги для царей и дороги для простых граждан, однако в
Платон
В таком интеллектуальном окружении и вырос Платон (428/427 г. до н. э. – 348/347 г. до н. э.), один из самых влиятельных умов Древней Греции и западной цивилизации в целом. Считается, что Платон изучал математику у пифагорейца Феодора Киренского, который первым доказал, что не только 2, но и 3, 5 и так далее вплоть до 17 – иррациональные числа. Почему он остановился на 17, никто в точности не знает, однако общего доказательства он, очевидно, вывести не сумел. Некоторые исследователи утверждают, что Феодор, вероятно, приводит самое легкое доказательство несоизмеримости, опираясь на понятие золотого сечения (идея примерно та же, что и в Приложении 2).
В своем «Государстве» Платон пишет, что математику совершенно необходимо включать в программу образования всех философов и государственных деятелей. Подобным же образом надпись над входом в его школу (Академию) гласила: «Не геометр да не войдет!» Историк математики Дэвид Юджин Смит в своей книге «Наш долг перед Грецией и Римом» (David Eugene Smith. Our Debt to Greece and Rome) называет это первым требованием к абитуриентам в истории. Восхищение математикой очевидно и тогда, когда Платон не без зависти пишет об отношении к математике в Египте, где на потеху детишкам изобрели арифметические игры, которые они изучают с удовольствием и забавы ради.
Оценивая роль Платона в развитии математики в целом и в понимании золотого сечения в частности, мы должны будем изучить не только его вклад в собственно математику, достаточно скромный, но и последствия его влияния на математические изыскания других ученых и в его собственном, и в последующих поколениях, и поддержки, которую он оказывал науке в целом. В некотором смысле Платона можно считать одним из первых чистых теоретиков. Примером его теоретических наклонностей может служить отношение к астрономии, где он предпочитал не наблюдать движение светил, а советовал «оставить небеса в покое» и сосредоточиться на более абстрактных математических небесах. Согласно Платону, настоящие звезды – это всего лишь отображение математических небес, подобно тому как геометрические чертежи – отображение абстрактных понятий точки, линии и окружности. Любопытно, что в своей выдающейся книге «История греческой математики» (Thomas Heath. A History of Greek Mathematics), изданной в 1921 году, сэр Томас Хит пишет: «Трудно разобраться, что же имел в виду Платон, когда проводил различие между видимой небесной тканью (то есть видимыми звездами, их расположением и движением), которая, безусловно, прекрасна, и подлинной небесной тканью, которым видимые небеса лишь подражают и которые бесконечно чудеснее и прекраснее».
Как астрофизик-теоретик я должен отметить, что Платон в неявном виде высказывает некоторые соображения, которым я симпатизирую. Здесь проводится различие между красотой космоса как такового и красотой теории, которая объясняет устройство Вселенной. Для наглядности приведу принцип, который открыл великий немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471–1528).
Сложим шесть правильных пятиугольников (рис. 19) так, чтобы получился один большой пятиугольник с пятью отверстиями в форме золотых треугольников (равнобедренных треугольников с отношением стороны к основанию, равным ). Шесть таких пятиугольников, в свою очередь, образуют еще один правильный пятиугольник, большой и более дырчатый – и так до бесконечности.
Думаю, все согласятся, что получившаяся фигура (рис. 19) удивительно красива. Однако у нее есть и обаяние другого рода – математическое: оно состоит в простоте принципа, по которому она строится. Так вот, мне кажется, это и есть математические небеса, о которых говорил Платон.
Не приходится сомневаться, что общее руководство научными изысканиями, которое осуществлял Платон в годы своего правления, гораздо важнее его непосредственного вклада в исследования. В тексте, который приписывают Филодему и относят к первому веку, мы читаем: «В те времена в математике [был достигнут] большой прогресс, и Платон им руководил и задавал задачи, которые математики ревностно решали».
Рис. 19
Тем не менее, Платон и сам очень интересовался свойствами чисел и геометрических фигур. В частности, в «Законах» он предполагает, что оптимальное число граждан в государстве – 5040, поскольку это число (а) делится на 12, 20 и 21, (б) его двенадцатая часть тоже делится на 12, (в) у него 59 делителей, в том числе все целые числа от 1 до 12, кроме 11, зато на 11 делится практически соседнее число 5038. Выбор этого числа с его свойствами позволил Платону разработать свою социально-экономическую утопию. Скажем, земля в государстве делится на 5040 наделов, а 420 из них составляют территорию каждой из двенадцати «фил». Сами жители государства делятся на четыре общественные категории – класса: свободные граждане с женами и детьми, их рабы, поселенцы-иностранцы и разнообразные заезжие гости. При выборах совета члены каждого из четырех классов избирают из своей среды по девяносто человек.
С Платоном связано и еще одно число – 216. Его он упоминает в «Государстве» в довольно-таки темном отрывке, где речь идет о том, что 216 – это шесть в кубе, а 6 – это одно из чисел, символизирующих брак (поскольку это произведение женского числа 2 и мужского числа 3). Платон и сам был учеником пифагорейцев и прекрасно знал, что сумма кубов сторон знаменитого пифагорейского треугольника – 3–4–5 – тоже равна 216.
Золотое сечение интересовало Платона, поскольку его очень занимали две темы: несоизмеримость и платоновы тела. В «Законах» Платон признается, что ему неловко, что с идеей несоизмеримости длин и с иррациональными числами он познакомился сравнительно поздно, и сокрушается, что многие греки его поколения до сих пор о них не знают.
В диалоге «Гиппий Больший» Платон признает, что подобно тому, как любое четное число может быть суммой либо двух четных, либо двух нечетных чисел, так и сумма двух иррациональных чисел может быть и иррациональной, и рациональной. Поскольку мы уже знаем, что – число иррациональное, рациональный отрезок прямой (то есть отрезок единичной длины), разделенный в соответствии с золотым сечением, служит примером последнего случая, хотя Платон этого, возможно, и не знал. Некоторые ученые придерживаются той точки зрения, что Платон интересовался золотым сечением как таковым. В доказательство они приводят слова Прокла Диадоха (ок. 411–485), который в «Комментарии к I книге «Начал» Евклида» пишет: «Евдокс… взяв у Платона начала сечений, разработал множество их видов» (здесь и далее пер. А. Щетникова), и полагают, что здесь говорится о том, что Платон (и Евдокс) занимались золотым сечением. Однако такое толкование вызывает серьезные сомнения со второй половины XIX века, когда многие исследователи сделали вывод, что слово «сечение», вероятно, не имеет здесь никакого отношения к золотому сечению – Прокл говорит о сечениях геометрических тел или вообще о разделении отрезков. Так или иначе, не приходится сомневаться, что основы для того, чтобы сформировать понятие о золотом сечении и вывести его определение, были заложены в годы, предшествующие открытию Платоновской Академии в 386 г. до н. э., и за время ее существования. Вероятно, ключевой фигурой и движущей силой при выведении теорем, относящихся к золотому сечению, был Теэтет (ок. 417 г. – ок. 369 г. до н. э.), который, согласно византийской энциклопедии «Суды», «первым построил пять так называемых правильных геометрических тел». Математик Папп, живший в IV веке, пишет, что Теэтет к тому же «отличал соизмеримые длины от несоизмеримых». Теэтет не принадлежал к Академии непосредственно, однако наверняка поддерживал с ней неофициальные связи.
В диалоге «Тимей» Платон берет на себя сложнейшую задачу – рассказывает о происхождении и устройстве космоса. В частности, он пытается объяснить структуру материи на примере пяти правильных многогранников, которые уже были в некоторой степени изучены пифагорейцами и подробно – Теэтетом. Пять платоновых тел (рис. 20) отличаются следующими свойствами: это единственные геометрические тела, у каждого из которых все грани – равные и равносторонние и которые можно вписать в сферу (то есть поместить все их вершины на поверхность сферы). Платоновы тела – это тетраэдр (рис. 20, а, с четырьмя гранями в виде равносторонних треугольников), куб (рис. 20, b, шесть квадратных граней), октаэдр (рис. 20, с, восемь треугольных граней), додекаэдр (рис. 20, d, двенадцать граней в виде правильных пятиугольников) и икосаэдр (рис. 20, е, двадцать треугольных граней).