Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.
Шрифт:
Заключение Гёделя не стало судным днем математики. Во-первых, могут существовать неалгоритмические методы установления истинности утверждений, так же как может быть невозможно формально доказать, что определенная позиция в шахматах не приводит к мату, но ее можно увидеть с более объемлющей точки зрения. То есть может существовать метаматематическое доказательство утверждения, которое не может быть доказано внутри формальной системы. То, что человеческий ум способен порождать такие неформальные, но вполне надежные доказательства, является окном в природу сознания, ибо это показывает, что понимание и рефлексия не нуждаются в том, чтобы быть алгоритмическими.
Математика прошла через три главных кризиса в своей истории. Первым было открытие древними греками несоизмеримости и существования иррациональных чисел, обрушившее философию пифагорйцев. Вторым было появление дифференциального исчисления в семнадцатом веке, сопровождавшееся страхом, что иметь дело с бесконечно малыми
Но возникает вопрос: почему математика, высший продукт человеческого ума, так великолепно приспособлена для описания Природы? И здесь я позволю себе заключительную завитушку, личный полет фантазии, представляющий собой чистую спекуляцию, не основанную на науке и поэтому совершенно лишенную всякой авторитетности. Это покажет, каким я на самом деле являюсь греком (древним, разумеется) и кантианцем в душе, несмотря на мои малодушные насмешки над их спекулятивными философиями. Здесь я намереваюсь быть более греком, чем сами греки, поглядеть, не являюсь ли я более кантианцем, чем сам Кант, и исследовать вопрос: а не существует ли глубокой связи между платоновским реализмом, кантианством и брауэровским интуиционизмом, а также гильбертовским формализмом?
В проблеме, с которой мы столкнулись, есть два главных момента. Один заключается в том, что математика есть внутренний продукт человеческого ума. Второй состоит в том, что математика оказывается удивительно хорошо приспособленной к описанию внешнего физического мира. Как это получается, что внутреннее так хорошо соответствует внешнему? Если мы примем кантианский взгляд на мозг, мы можем предположить, что он развивался таким способом, который наделил его способностью различать множества, соответствующие натуральным числам (в кантовских терминах, синтетическим a priori) и представлять эти числа в трех измерениях в форме геометрии (синтетической a prioriтоже, но только локально, поскольку мы знаем, что евклидова геометрия не справедлива на больших масштабах и вблизи массивных тел). Кант наших дней мог бы утверждать, что у нас возникает столько проблем с представлением иррациональных чисел и неевклидовой геометрии потому, что эти концепции не входят в программное обеспечение нашей нейронной сети, из-за некоего рода эволюционной адаптации к локальному окружению, и нам нужно прилагать реальные умственные усилия, чтобы созерцать их свойства.
Двигаясь дальше, мы можем также предположить, что простые операции с этими понятиями также структурно представлены в программном обеспечении нашего мозга. Эта идея предполагает, что лежащие в основе других операций логические операции являются встроенными и у нас есть программно обеспеченная способность к построению алгоритмов. Я не утверждаю, что эта способность принадлежит исключительно мозгу: сегодня существует большой интерес к умозрительным предположениям о существовании нелокальной активности мозга, которая дает нам возможность рассматривать связи неалгоритмическими способами, и кое у кого имеются умозрения (Роджер Пенроуз является ведущим пропагандистом этого взгляда), что сознание есть внутренне нелокальный квантовый феномен. Хотя я был бы удивлен, если бы это оказалось правдой, это не станет составной частью моего собственного умозрения, когда я сконцентрируюсь на алгоритмических процессах в мозгу, на гильбертовском алгоритмическом сопроцессоре для большей, более метаматематической, возможно, нелокальной способности мозга. Коротко говоря, для алгоритмических вычислений мы можем занять позицию, которую допустимо назвать «структуралистской», подобной той, с которой Ноам Хомский смотрел на внутреннюю способность человека к языку, и представлять себе нашу логическую способность как кантовское проявление программно обеспеченной алгоритмической компоненты мозга, которая возникла под давлением эволюции. Наша способность создавать математические взаимосвязи, выводить теоремы и так далее является следствием этой структуры.
Двигаясь из головы наружу, нам следует теперь рассудить, почему физический мир представляется рукой в математической перчатке. Здесь я вступаю на еще более предательскую спекулятивную почву. Мы видели связь чисел с множествами и принадлежащее Фреге отождествление чисел с расширениями определенных множеств. В подобном же духе веселый венгро-американский математик Джон (Иоганн) фон Нейман (1903-57), которого считают, наряду с Тьюрингом, отцом современного компьютера, предложил возможность отождествления натуральных чисел с некоторыми очень простыми множествами. А именно, он идентифицировал 0 с пустым множеством {}, множеством, не содержащим элементов. Затем он перешел к отождествлению 1 с множеством, содержащим пустое множество, 1 = {{}}, 2 с множеством, содержащим пустое множество и множество, которое содержит пустое множество, 2 = {{}, {{}}}, затем 3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, и так далее. [53] Так фон Нейман закрутил весь мир чисел из абсолютного ничто и дал нам арифметику ex nihilo.
53
Строго говоря, впервые такую конструкцию придумал не менее веселый древнекитайский философ-даос Чжуан-цзы (IV-III в. до н.э.). Он писал (следует учесть, что в даосизме «вся тьма вещей» = одно = дао, а «дао пусто»): «Небо и Земля живут вместе со мной, вся тьма вещей составляет со мной одно. Коль скоро мы составляем одно — что еще тут можно сказать? Но уж коли мы заговорили об одном, то можно ли обойтись без слов? Единое и слова о нем составляют два, а два и одно составляют три. Начиная отсюда, даже искуснейший математик не доберется до конца чисел, что уж говорить об обыкновенном человеке?» — Прим. пер.
Я утверждал где-то в другом месте, что, поскольку у меня не хватает воображения, чтобы представить себе, каким еще способом явное нечто может произойти из абсолютного ничто, появление Вселенной ex nihilo должнобыло происходить именно так, как фон Нейман наколдовал нам натуральные числа из пустого множества. Тот факт, что Вселенная пережила свое собственное творение, следует тогда интерпретировать как указание на то, что объекты, начавшие существовать таким путем, являются логически самосогласованными, в противном случае космос коллапсировал бы. Поэтому существует внутренняя логическая структура Вселенной, которая является той же структурой, что и арифметика.
Теперь мы соединим вместе эти пузырящиеся потоки легковесных спекуляций. Когда математик сталкивается с физическим миром, тот кажется ему его собственной рефлексией. Наши мозги, как и их продукт, математика, имеют в точности ту же логическую структуру, что и сама физическая Вселенная, структуру пространства-времени и населяющих его объектов. Неудивительно тогда (вспомним Вигнера и Эйнштейна), что порожденная мозгом математика дает совершенный язык для описания физического мира.
Все это, возможно, чепуха. А может быть, и нет. Тогда одним из следствий могло бы быть, что глубинной структурой мира является математика: Вселенная, все ее содержимое, есть математика, ничего, кроме математики, а физическая реальность есть внушающая ужас и благоговение ипостась математики. Это радикальный платонизм, ультранеоплатонизм, то, что я где-то назвал «глубинным структурализмом». То, что кажется нам осязаемым — земля, воздух, огонь и вода, — есть не более чем арифметика. Если это так, то теорема Гёделя приложима, в определенном смысле, ко всей Вселенной. Мы никогда не можем знать, действительно ли Вселенная является самосогласованной. Если нет, то возможно, что в некоторый момент в будущем она внезапно придет к концу, или несогласованность распространится на всю ее структуру подобно чуме, сминая логику на своем пути и, подобно ржавчине, уничтожая структуры. Все существующее возвратится к источнику, из которого вышло, к пустому множеству, к поразительно могущественному понятию абсолютного ничто.
А пока это могущество наше, и им можно наслаждаться. Если эта точка зрения верна, то все вокруг нас является внушающим благоговение цветением пустоты, явленным нам в ощущениях и сопровождаемым восторгом чувств, углубленных интеллектом и обостренных наукой, этой наследницей прозрения Галилея, его докучливого перста. Я не могу представить себе ничего более подвижного и ничего более чудесного.
Эпилог
Будущее понимания
Какое же будущее нашего понимания мира сулит нам перст Галилея? Головокружительный взлет достигнутый за несколько последних веков, особенно за век, только что прошедший, не проявляет никаких признаков ослабевания. Итак, куда же он ведет?
Наука выглядит так, как если бы она была полубесконечной. Высказывая это осторожно сформулированное мнение, я имею в виду, что оптимист имеет определенные основания подозревать, что поиски финальной теории, получившей неудачное самоосуждающее название «общая теория всего», ОТВ как основания физики, придет к успешному завершению, но что ветвление и приложения науки бесконечны. Конечно, в каждом веке встречаются рассеянные здесь и там осколки этого взгляда, высвечиваемые и поднимаемые на смех беспощадным светом последующего прогресса. Однако современные признаки являются иными, и оптимисты — а оптимизм является той чертой, которой следовало бы стать общей характеристикой личности всех ученых — могут указать на существенную разницу между глашатаями близкого завершения науки в девятнадцатом веке и ими же в двадцать первом.