Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Лизана Антонио Руфиан

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Задача, предложенная Гауссу, касалась вычисления траекторий планет на основе минимального количества наблюдений (по крайней мере, трех). Математически она была чрезвычайно сложной, поскольку нужно было решить шесть уравнений с шестью неизвестными. При этом вычислить точные решения было невозможно и нужно было найти приближенные. Да, решение линейной системы какой-либо задачи, в которой столько же неизвестных, сколько и уравнений, может быть довольно трудоемким, но не предполагает технических сложностей. Однако в этом случае система уравнений была нелинейной. Вычисление орбиты Цереры, как и почти все вычисления Гаусса, включало в себя искусное использование последовательных приближений. Следует отметить прагматизм ученого, который использовал любой доступный математический инструмент. При этом он ввел множество идей, полное доказательство которых далеко не тривиально.

На первом этапе нужно было определить возможную орбиту, а

затем, что еще сложнее, осуществить постепенную коррекцию. В целом наблюдаются три типа орбит: эллиптические, параболические и гиперболические. До Гаусса были достигнуты некоторые успехи, например в определении орбиты Урана, но это было довольно просто, поскольку изначальное предположение о том, что Уран описывает круг вокруг Солнца, было недалеко от истины ввиду очень небольшого эксцентриситета орбиты планеты. Кроме того, имелись многочисленные наблюдения, помогавшие скорректировать любую ошибку. В случае с Церерой Гаусс располагал результатами только 41 дня наблюдений; кроме того, ее орбита имела высокую степень эксцентриситета, поэтому гипотеза круга, на которой основывались Ольберс и фон Цах, не сработала. Подход Гаусса был основан только на имевшихся наблюдениях, и для решения задачи ученый пользовался эвристическими методами, то есть улучшал результат шаг за шагом. В эвристических методах используется итерация, при которой найденные частичные решени я служат основой для нахождения новых решений, более близких к реальному решению задачи.

Метод наименьших квадратов, созданный Гауссом, — это техника числового анализа, состоящая в математической оптимизации. Цель — нахождение функции, которая бы наилучшим образом подходила известным данным. Математическая идея следующая: пусть (x₁, y₁), (х₂, y₂), ..., (x_n, y_n) — пары данных, полученных при реальных наблюдениях за переменными X и Y. Теперь предположим, что между переменными X и Y существует связь, определяемая функцией f, так что f(х_i) = у_i. В случае с планетой Церерой, который изучал Гаусс, пары были образованы положением в пространстве (переменная Y) и временем (переменная X). Определить траекторию планеты было равносильно нахождению вида функции f, так, чтобы при введении данных времени (х) мы могли вычислить ее положение (у) на основе значения f(хi). Нужно выявить метод нахождения функции, при которой были бы минимальными ошибки или вычеты, определяемые как разница между реальным значением переменной Y (положение планеты) и ее вычислением с помощью функции f. Сумма этих ошибок должна быть как можно меньше. Чтобы ошибки взаимно не исключались отрицательными и положительными числами, они возводятся в квадрат; у этой процедуры также есть дополнительное преимущество — она сокращает значение более мелких ошибок, большинство из которых вызваны неточностью взятых данных. Итак, проблема наименьших квадратов сводится к нахождению такой функции f, чтобы минимизировалась сумма квадратов ошибок, то есть чтобы

было минимальным.

Проблема равносильна нахождению минимума среднеквадратической ошибки, то есть минимизации функции:

Эта формулировка несколько проще той, с которой в действительности столкнулся Гаусс, поскольку ради простоты мы предположили, что положение планеты Цереры можно представить только одной переменной, в то время как на самом деле необходима трехмерная система координат, то есть переменная является векторной. Это влияет на сложность вычислений и число неизвестных, с которыми нужно работать, но не на теоретическую постановку.

ПОЛЕМИКА С ЛЕЖАНДРОМ

Авторство разработки метода наименьших квадратов породило большую полемику с французским математиком Адриеном Мари Лежандром. Эта полемика была вызвана методами работы математиков начала XIX века и особенно подходом Гаусса к публикации результатов. На самом деле количество математических достижений Гаусса было несравнимо с числом публикаций. Гаусс, как и другие современные ему математики, не публиковал свои открытия сразу же в коротких статьях, как это делается сегодня, а накапливал их для издания целой книги. При этом он стремился не оставлять следов своего исследовательского труда. В случае с Церерой он озвучил решение, которое оказалось точным и принесло ему славу, но не объяснил используемого метода. Гаусс не публиковал своих трудов о методе наименьших квадратов до 1809 года, когда вышла его работа Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium («Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям»), то есть произошло это почти через десять лет после использования метода для вычисления орбиты Цереры. В этой публикации ученый обсуждает метод и намекает на работу Адриена Мари Лежандра по этой теме. Действительно, Лежандр хотя и не был первым, кто использовал этот метод, но первым описал его в работе Nouvelles methodes pour la determination des orbite des cometes («Новые методы определения орбит комет»), которая была опубликована в 1805 году (за четыре года до публикации Гаусса). Именно Лежандр дал методу название, известное сегодня. Вскоре после публикации книги Гаусса Лежандр написал ученому приветственное письмо, в котором, тем не менее, заявлял о своем авторстве метода наименьших квадратов.

В 1820 году Лежандр опубликовал дополнение к работе 1805 года, снова споря с Гауссом по вопросу об авторстве метода. Последующее изучение заметок Гаусса и свидетельство Ольберса, который заверил, что Гаусс показал ему записи о методе еще в 1802 году, когда они оба работали над определением орбиты Паллады, подтверждают правоту Гаусса. И это был не последний случай, когда два великих современника спорили об авторстве математических результатов.

Спор нанес ущерб математике, поскольку Лежандр начал испытывать необоснованные подозрения, что Гаусс копирует его работы с помощью его самого знаменитого ученика, Карла Густава Якоба Якоби, и запретил Якоби сотрудничать с Гауссом, хотя они оба долгие годы работали над одной темой — эллиптическими функциями. Как мы увидим далее, в этой теме и во многих других Гаусс шел нога в ногу с Лежандром. Узнав о беспочвенных обвинениях, Гаусс отразил удар. В 1806 году, в письме астроному Генриху Христиану Шумахеру (1780— 1850), он пожаловался:

«Похоже, что мне предназначено совпадать с Лежандром почти во всех своих теоретических работах. Так произошло с высшей арифметикой, с исследованиями трансцендентных функций, связанных со спрямлением [процессом нахождения длины дуги кривой] эллипса, с основами геометрии, и теперь снова здесь с методом наименьших квадратов».

После посмертной публикации работ Гаусса и переписки последних лет все старые споры были решены в пользу немецкого математика.

Такие разногласия были очень распространены среди математиков той эпохи, поскольку они часто запаздывали с публикацией своих открытий, да и само научное общение посредством писем было крайне неспешным, в результате разные ученые независимо работали над одной и той же проблемой и так же независимо друг от друга получали одинаковые результаты. Сегодня с помощью электронных средств коммуникации, особенно интернета, а также при наличии требования публиковать результаты как можно быстрее математик-исследователь может почти сразу же узнать о работах своих коллег, избегая многих подобных споров.

АДРИЕН МАРИ ЛЕЖАНДР

Лежандр (1752-1833) вместе с Лапласом, Лагранжем и Коши работал в период, который можно считать золотым веком французской математики. Он получил прекрасное образование в Коллеже Мазарини в Париже, где изучал физику и математику до 1770 года. С 1775 по 1780 годы Лежандр преподавал в военной школе, а с 1795 — в Нормальной школе.

В 1782 году ему была предоставлена премия Берлинской академии за изучение траекторий снарядов. Ученый внес важный вклад в статистику, теорию чисел и математический анализ, и его работы послужили основой для более поздних математических открытий. В частности, исследования норвежца Нильса Хенрика Абеля об эллиптических функциях были построены на постулатах, разработанных Лежандром, который провел фундаментальную работу в этой области, включая классификацию эллиптических интегралов. Вклад математика в этой области был дополнен его учеником Карлом Густавом Якобом Якоби. Также работу Лежандра дополнял и Гаусс в своих исследованиях, касавшихся статистики и теории чисел, однако между этими двумя учеными состоялось несколько споров о первенстве их открытий. В 1830 году Лежандр представил доказательство тогда еще гипотезы Ферма для n = 5. Также ему принадлежат первые работы по распределению простых чисел и по применению анализа к теории чисел, в чем он вновь совпал с Гауссом.

Карикатура на Лежандра, созданная в 1820 году французским художником Луи-Леопольдом Бальи.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К СТАТИСТИКЕ

Кроме вычисления пространственных орбит, как мы увидим далее, метод наименьших квадратов имеет большой потенциал применения в других областях математики, особенно в статистике. Решение уравнений методом наименьших квадратов зависит от данных о функции f, связывающей переменные, которые нам известны, и от сложности этой функции. Самый простой случай — когда функция имеет вид прямой, то есть Y = а + bХ. Вычисление параметров а и b получается простым расчетом на основе n пар двумерных данных (х₁, y₁), (х₂, у₂),..., (x_n, y_n). После применения техники наименьших квадратов получаем, продифференцировав и приравняв к нулю, уравнения, известные под названием нормальных уравнений: