Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
Шрифт:
«Когда земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет предоставлять услуги, сравнимые с тем, какую роль играет нервная система в человеческом теле, частично как транспортное средство, частично как средство для распространения идей и сенсаций со скоростью света».
Портреты Гаусса и Вильгельма Вебера. Они сотрудничали в течение многих лет в сфере электричества и магнетизма. Результатом их совместной работы является, например, изобретение телеграфа нового типа, известного как зеркальный гальванометр Гаусса — Вебера (внизу).
После
Диоптрика, изучающая форму, расположение, конструкцию и дефекты линз, а также их внутренние ограничения, безусловно, является наиболее специализированной областью эмпирических исследований Гаусса. Этот интерес был связан с астрономическими наблюдениями: в 1807 году Репсольд, известный производитель инструментов, консультировался с Гауссом о двойном ахроматическом объективе. С этого и началось их долгое сотрудничество. Гаусс, среди прочего, интересовался уменьшением хроматической аберрации системы линз. Со временем благодаря вкладу Гаусса в Германии стало возможным промышленное развитие оптики: Рейхенбах (1772— 1826), Фраунгофер (1787-1826) и Штейнгейль (1801-1870) были предшественниками Карла Цейса (1816-1888), основавшего фабрику линз. Ее научным директором стал Эрнст Карл Аббе (1840-1905), известный тем, что установил предел разрешающей способности оптического микроскопа. Гаусс даже в периоды сильной стесненности в средствах покупал для своей обсерватории оптические инструменты. С этим были связаны большинство путешествий ученого — разумеется, кроме поездок, необходимых для геодезических исследований. Наиболее важная работа Гаусса в этой области — это Dioptrische Untersuchungen («Диоптрические исследования») 1840 года, где он изучает траекторию света с помощью системы линз в так называемом параксиальном приближении, когда предполагается, что линзы бесконечно тонкие, а лучи бесконечно близки к оптической оси. В этом приближении любая система эквивалентна одной эффективной линзе. В работе речь идет о базовых этапах конструирования оптических систем, но ее результат довольно элементарен с точки зрения математики, и поэтому Гаусс даже сомневался в целесообразности публикации исследования.
ГЛАВА 6
Наследие короля математиков
Из-за отъезда Вильгельма Вебера, близкого друга и источника вдохновения Гаусса, научная деятельность ученого в последние годы жизни была не такой интенсивной, как ранее. Несмотря на это он активно преподавал и по-прежнему пользовался всеобщим признанием в научном мире.
Отъезд Вебера из университета обозначил начало последнего этапа в жизни Гаусса — эпоху, когда рядом с ним не было коллег, с которыми он мог бы поделиться научными заботами. Кроме Вебера, из-за того же противостояния с королем вынужден был уехать и Эвальд, помощник Гаусса и муж его дочери Минны, которая отправилась в изгнание вместе с ним.
Годы после отъезда Вебера из Гёттингена были особенно грустными и тяжелыми для ученого. В 1839 году умерла его уже престарелая мать, что было тяжелым ударом для любящего сына. Через несколько месяцев, в 1840 году, умерла Минна, его старшая и любимая дочь. Большой друг Гаусса Ольберс, который был его партнером во многих астрономических исследованиях, также умер в 1840 году.
Из второй семьи рядом с математиком осталась только дочь Тереза. Она так и не вышла замуж и после смерти своей матери занималась всеми вопросами, связанными с ведением хозяйства. Хотя Гаусс очень зависел от Терезы, кажется, что между отцом и дочерью было немного общего — кроме, разумеется, взаимного уважения, вызванного благодарностью со стороны отца и восхищением со стороны дочери.
На этом этапе Гаусс выступает в новой роли — как талантливый преподаватель, и это говорит о том, что в этот период пожилой профессор получал намного больше удовольствия от общения со студентами, чем в годы своей молодости. Гаусс, без сомнения, был очень компетентным преподавателем. Но причина этого не только в том, что он стал более терпелив к не очень ярким студентам, но и в том, что теперь его окружала гораздо лучше подготовленная и более мотивированная молодежь. Образовательная реформа, осуществленная министром Гумбольдтом, положительно сказалась на новых поколениях студентов. В число последних учеников Гаусса входили такие светила, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд.
Дедекинд оставил нам о Гауссе-преподавателе такое свидетельство:
«Обычно он сидел в удобной позе, смотрел вниз, слегка согнувшись, с переплетенными руками на коленях. Он говорил довольно свободно, очень ясно, просто и без церемоний, но когда хотел сделать акцент на новой точке зрения [...], поднимал голову, поворачивался к кому-нибудь из тех, кто сидел рядом с ним, и смотрел на него своими красивыми проникновенными голубыми глазами во время своей высокопарной речи. [...] Если речь шла об объяснении принципов для вывода математических формул, он вставал и в гордой, величественной позе писал прекрасным почерком на доске; у него это всегда очень хорошо получалось. Для числовых примеров, аккуратному обращению с которыми он придавал особое значение, у него были с собой необходимые данные, написанные на маленьких листках бумаги».
Гаусс по-прежнему проводил магнитные и астрономические наблюдения, результатами которых потом делился с другими учеными. Он также посвящал себя теоретическим проблемам математики, однако более элементарного характера нежели те, что занимали ученого в предыдущие годы. Гаусс также увлекся некоторыми задачами комбинаторики, которые ставил перед ним его друг Шумахер, и некоторыми проблемами теоретической и прикладной физики. Также он уделял время изучению новых языков.
Ученики Гаусса Георг Кантор (1845- 1918) и Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831-1916), а также Готлоб Фреге (1848-1925) были создателями теории множеств — области математики, которая лежит в основе значительной части математической науки. Благодаря смелым и дерзким исследованиям Кантор был первым, кто формализовал понятие бесконечности. Так, он открыл, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. Так, множество рациональных чисел счетно, то есть можно установить связь его элементов с натуральными числами, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. Кантор страдал от депрессии, частично вызванной суровой критикой, особенно со стороны его коллеги Леопольда Кронекера (1823-1891), который называл Кантора «ренегатом», «шарлатаном» и даже «развратителем обучающейся молодежи». Сегодня все математическое сообщество полностью согласно с тем, что работа Кантора была важным качественным скачком в логических рассуждениях. В свою очередь, Рихард Дедекинд сильно повлиял на развитие в области алгебры и теории алгебраических чисел. Говорят, что он первый давал в университете занятия по теории Галуа. Кроме того, Дедекинд первым понял фундаментальное значение понятий группы и идеала для алгебры, теории чисел и алгебраической геометрии.
Георг Кантор.
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд.
В 1849 году, в связи с 50-летием своей докторской диссертации, Гаусс прочел знаменитую лекцию, где представил четвертое доказательство основной теоремы алгебры, уже открыто включив в него комплексные коэффициенты, которые не хотел показывать в своих первых работах. Это вызвало всеобщий энтузиазм в немецкой и европейской науке.
Одна из самых любопытных работ Гаусса в эти годы была посвящена пенсионному фонду для вдов преподавателей Гёттингенского университета. Ученый хотел проверить, можно ли долгосрочно поддерживать уровень обеспечения. Он пользовался таблицами смертности и другой информацией, полученной в страховых компаниях. Для своих первых вычислений Гаусс воспользовался всеми реальными данными, которые были в его распоряжении. Он представил заключение в 1851 году, после шести лет работы, и оно было довольно удивительным: деятельность пенсионного фонда была организована рационально и даже позволяла увеличить выплачиваемые суммы. Гаусс так заинтересовался этой темой в том числе и потому, что она позволила ему применить знания практической экономики. В отличие от Ньютона, Гаусса никогда не привлекали государственные должности, хотя его острый ум и проницательность во всех вопросах, связанных с изучением статистики, страхования и политической арифметики, сделали бы из него отличного государственного деятеля. В своей книге Gauss zum Gedachtniss («Мемуары о Гауссе») Сарториус фон Вальтерсгаузен (1809-1876), близкий друг ученого, написал, что тот вполне мог бы заниматься государственным бюджетом. Действительно, более чем средний достаток ученого был результатом его успешных вложений в акции компаний и ценные бумаги, причем не только немецкие. И это несмотря на его разорительное вложение в железнодорожную линию на севере Гессена, когда из-за национализации Гаусс потерял 90% инвестиций.