Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Фалес подолгу бывал и в Египте. Египтяне владели секретом постройки пирамид, однако им не хватало понимания, необходимого для измерения их высоты. Фалес искал теоретические объяснения фактов, открытых египтянами эмпирически. Обретя это понимание, Фалес мог вывести геометрические методы один из другого, либо овладеть решением одной задачи, зная решение другой, потому что извлек абстрактную суть из определенного практического приложения. Он поразил египтян демонстрацией метода измерения высоты пирамид [24] , применив все те же знания свойств подобных треугольников. Позднее Фалес использовал сходную технологию для измерения морского пути корабля. В Древнем Египте он стал знаменитостью.
24
Hooper, стр. 37.
В Греции Фалес был признан современниками одним из Семи мудрецов — семи умнейших людей на свете. Его деяния впечатляют еще больше,
Фалес сделал первые шаги по систематизации геометрии. Он первым доказал геометрические теоремы, подобные тем, что Евклид века спустя собрал в «Началах». Осознав необходимость неких правил, из которых можно обоснованно делать дальнейшие выводы, Фалес изобрел первую систему логического мышления. Он первым осмыслил понятие о сравнимости пространственных фигур: две фигуры на плоскости можно считать равными, если можно так сдвинуть и повернуть одну, чтобы она в точности совпала с другой. Расширение идеи равенства чисел до фигур в пространстве оказалось громадным рывком математизации пространства. Это не так очевидно, как может показаться нам, усвоившим это еще в школьные годы. На самом деле — и мы еще в этом убедимся — такой вывод требует допущения однородности, т. е. что фигура не искажается и не меняется в размерах при движении, а это не так для некоторых пространств, включая наше физическое. Фалес сохранил для своей математики египетское название — «измерение земли» [26] , — однако перевел его на родной язык, и получилась «геометрия».
25
Erwin Schroedinger, Nature and the Greeks (Cambridge: Cambridge University Press, 1996), стр. 81.
26
Hooper, стр. 33.
Фалес утверждал, что наблюдение и рассуждение могут объяснить все происходящее в природе. В конце концов он даже пришел к революционному заключению, что природа подчиняется неизменным законам. Удары грома — не вопли сердитого Зевса. Наверняка же существует объяснение получше, вытекающее из наблюдения и рассуждения. А в математике любые выводы о мире должны быть подтверждены правилами, а не догадкам и наблюдениями.
Фалес размышлял и над понятием физического пространства. Он осознал, что вся материя мира, несмотря на ее разнообразие, должна быть по сути одним и тем же веществом. За полным отсутствием подтверждений такой рывок интуиции совершенно поразителен. Следующий естественно возникший вопрос: а что же это за вещество? Живя в портовом городе [27] , Фалес, следуя интуиции, выбрал им воду. Поразительно: ученик и соотечественник Фалеса, милетец Анаксимандр пришел к сопоставимому по мощности интуитивному выводу об эволюции, выбрав низшим животным, от которого произошел человек, рыбу [28] .
27
О милетской жизни см.: Adelaide Dunham, The History of Miletus (London: University of London Press, 1915).
28
См.: Guthrie, стр. 55–80, и Peter Gorman, Pythagoras, A Life (London: Routledge & Kegan Paul, 1979), стр. 32.
Когда Фалес превратился в немощного старца, устрашенного бессилием собственного ума, он встретил самого важного предтечу Евклида — Пифагора Самосского. Самос был большим городом на одноименном острове в Эгейском море, неподалеку от Милета. Гости острова и по сей день могут обозреть разрушенные колонны и базальтовые руины театра, обращенного к древней гавани. Во дни Пифагора город цвел. Когда Пифагору было 18, умер его отец. Дядя дал ему сколько-то серебра и рекомендательное письмо и выслал с визитом к философу Ферекиду на соседний остров Лесбос, от названия которого происходит слово «лесбийский».
Согласно легенде, Ферекид изучал тайные книги финикийцев и принес грекам верование в бессмертие души и перерождение, а Пифагор сделал эти представления фундаментом своей религиозной философии. Пифагор и Ферекид подружились на всю жизнь, однако на Лесбосе Пифагор не остался. К своим двадцати годам он успел съездить в Милет, где и познакомился с Фалесом.
Вот вам историческая картина [29] : юноша с длинными густыми волосами, облаченный не в традиционную греческую тунику, а в штаны — эдакий античный хиппи, — навещает знаменитого старца. Фалес к тому времени уже понимал, что его прежнее величие клонится к закату. Усмотрев в юноше, быть может, отблеск собственной молодости, он извинился за упадок своего разума.
29
Gorman, стр. 40.
Нам неведомо, что именно сказал Фалес Пифагору, однако известна сила его влияния на молодого гения.
Глава 4. Тайное общество
Пифагор послушался советов Фалеса [31] и отправился в Египет, но в тамошней математике не обрел поэзии. Геометрические объекты были физическими сущностями. Линия оказалась веревкой, натянутой гарпедонаптом, или кромкой пашни. Прямоугольник — границами участка земли или поверхностью каменной плиты. Пространство — илом, почвой и воздухом. Именно грекам, а не египтянам принадлежит романтическое, метафорическое представление математики: пространство может быть математической абстракцией и, что не менее важно, абстракция эта может быть применена в самых разных обстоятельствах. Иногда линия — это просто линия. Но в то же время линия может представлять и ребро пирамиды, и границу пашни, и путь вороны в небе. Знание об одном переносимо на другое.
30
Хорэс Грили (1811–1872) — американский журналист и политик, социалист-утопист, прославился фразой в своей редакторской колонке, опубликованной 13 июля 1865 г.: «Ступайте на Запад, молодой человек, ступайте на Запад…» — Прим. пер.
31
Наиболее полная биография Пифагора, со всеми ссылками, — гормановская. Также см.: Leslie Ralph, Pythagoras (London: Krikos, 1961).
По преданию, Пифагор шел как-то мимо кузни и услышал, как по тяжелой наковальне стучат разные молоты. Он задумался. Повозившись со струнами, он обнаружил гармонические последовательности, а также связь между длиной поющей струны и тоном слышимой музыкальной ноты. Струна вдвое длиннее, например, поет в два раза ниже. Наблюдение с виду простое, однако глубина его революционна — его часто считают первым в истории примером эмпирического открытия закона природы.
Миллионы лет назад некто выдавил из себя какое-нибудь мычание или хмыканье [32] , а некто другой проговорил бессмертные слова — ныне утерянные, но наверняка означавшие что-то вроде «я понимаю, о чем ты». Так произошел язык. В науке учение Пифагора о гармонии — явление того же порядка, первый пример описания физического мира в математических терминах. Не будем забывать ни на секунду, что во времена Пифагора не существовало даже простейшей математики чисел. Пифагорейцам, к примеру, открытие того, что умножение сторон прямоугольника друг на друга дает площадь этого прямоугольника, показалось подлинным откровением.
32
См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.
Для Пифагора и его последователей главной интригой математики виделись разнообразные численные закономерности. Пифагорейцы представляли себе числа как камешки или точки, выложенные в определенный геометрический узор. Они обнаружили, что некоторые числа можно сложить, разместив камешки на равном расстоянии в два столбика по два, в три по три и т. д. — так, чтобы получался квадрат. Пифагорейцы называли любое количество камешков, которые можно выложить таким способом, «квадратным числом», поэтому и мы зовем их до сих пор квадратами: 4, 9, 16 и т. д. Другие числа, как выяснили пифагорейцы, можно выложить так, чтобы получались треугольники: 3, 6, 10 и т. д.
Свойства квадратных и треугольных чисел завораживали Пифагора. Например, второе квадратное число, 4, равно сумме первых двух нечетных чисел, 1 + 3. Третье квадратное число, 9, равно сумме первых трех нечетных чисел, 1 + 3 + 5, и т. д. (То же верно и для первого квадрата: 1 = 1.) Пифагор заметил и то, что, подобно равенству квадратных чисел сумме соответствующих предыдущих нечетных чисел, треугольные числа есть сумма всех последовательных чисел, четных и нечетных. Да и сами квадратные и треугольные числа взаимосвязаны: если сложить треугольное число с предыдущим или следующим треугольным, получится квадратное число.
Теорема Пифагора тоже наверняка показалась волшебством. Вообразите древних ученых, исследующих треугольники все сортов, а не одни лишь прямоугольные, измеряющих все углы и стороны, крутя их и сравнивая друг с другом. Случись такое исследование в наше время, университеты посвятили бы ему отдельный предмет.
«Мой сын устроился на математический факультет в Беркли, — говорила бы в таком случае какая-нибудь гордая мать. — Треугольники преподает». И вот однажды ее сынуля обнаруживает любопытную закономерность: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Оказывается, это правило действует для больших треугольников, маленьких, толстых, коротких, одним словом — для любого прямоугольного треугольника из всех, какие когда-либо попадались под руку, однако не для любого треугольника вообще. Это открытие наверняка удостоилось бы заголовков в «Нью-Йорк Таймс»: «У прямоугольных треугольников обнаружена поразительная закономерность», — а ниже, помельче: «Практическую применимость предстоит установить еще не скоро».