Эврика! Радость открытия. Архимед

Агиляр Эугенио Мануэль Фернандес

Р: сила. Эта приложенная сила может представлять собой определенный вес.

R:сопротивление. Сила, которая сопротивляется приложенной силе и тоже может выражаться в подвешенном весе.

В_р: плечо силы. Участок рычага между точкой приложения силы и точкой опоры.

B_R: плечо сопротивления. Участок рычага между точкой сопротивления и точкой опоры.

Простой рычаг (см. рисунок) состоит из жесткой балки, которая может свободно вращаться вокруг точки

подвеса или опоры. В этой балке различают две части — плечо силы (к которому прикладывается усилие) и плечо сопротивления (на него передается усилие). Используется столь простой механизм следующим образом: нагружается одно плечо рычага или к нему прикладывается усилие, после чего достигается равновесие, или же система выводится из равновесия. Закон рычага устанавливает соотношение между силами, воздействующими на каждое плечо рычага, и длинами плеч: соотношение сил равно соотношению расстояний от точек приложения этих сил до точки опоры. Данная пропорция и есть одно из главных достижений Архимеда, который разработал следующую математическую формулу:

Р • В_р = R • B_r.

Три рычага

В средней школе любой страны обычно изучают три типа рычагов. Поскольку рычаг включает в себя три различных элемента (плечо силы, опора и плечо сопротивления), то в зависимости от их взаиморасположения мы можем разделить рычаги на три типа. Примеры всех трех типов можно найти в строении человеческого тела (рисунок 3). Архимед в своих трактатах сформулировал закон рычага, но не классифицировал различные типы рычагов — возможно, это казалось очевидным. Тем не менее не лишним будет вспомнить данную классификацию.

В рычаге первого типа (рисунок 4) точка опоры расположена между плечами силы и сопротивления. Это именно тот рычаг, который встречается в текстах Архимеда. Примерами рычага первого типа могут служить весы, качели, клещи. В рычаге второго типа (рисунок 5) точка сопротивления находится между точкой приложения силы и точкой опоры. В качестве примеров такого рычага можно привести тачку, щипцы для орехов или открывалку для бутылок.

В рычаге третьего типа (рисунок 6) точка приложения силы находится между точкой сопротивления и точкой опоры. Примеры: степлер, антистеплер и щипчики для завивки ресниц.

РИС. 3

РИС. 4

РИС. 5

РИС. 6

О равновесии плоских фигур

Трактат «О равновесии плоских фигур» выделяется из числа других математических сочинений той эпохи: в нем нет определений. Отсюда возникла гипотеза, что трактат представляет собой краткое резюме некоторого очень важного труда. В том виде, в каком он дошел до нас, он состоит из двух книг. 

Первая книга начинается семью постулатами (некоторые авторы считают, что это аксиомы) и продолжается пятью утверждениями, в которых в скрытом виде используется принцип равновесия равноплечих весов, чтобы продемонстрировать различные положения о равновесии тел. Последние утверждения касаются центра тяжести треугольника, параллелограмма и трапеции.

Во второй книге в десяти утверждениях рассматривается равновесие сегмента параболы. Вторая книга тесно связана с трактатом о квадратуре параболы.

«Дайте мне точку опоры, и я переверну землю»

В VIII книге «Математического собрания» Папп рассказывает об Архимеде и о рычаге. По утверждению автора Архимед произнес следующую фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». С помощью несложных

вычислений мы увидим, что это невозможно, и странно, если Архимед допустил такую ошибку. Предположим, что для нашего предприятия мы используем рычаг первого типа, а Земля будет располагаться в 1 м от точки опоры. Сразу отметим, что у Земли нет веса, ведь она находится в космическом пространстве и не опирается ни на какую планету или иное космическое тело. Но предположим, к примеру, что мы поместили Землю на суперрычаг, который опирается на суперпланету. В случае если земля представляет собой материальную точку, отстоящую от точки опоры на 1 м, на каком расстоянии должен находиться Архимед, чтобы приложить силу к другому плечу рычага? Так как масса Земли примерно равна 6 • 10²⁴ кг и с учетом предположения, что Архимед прикладывает усилие, равное 60 кг, расстояние от точки опоры должно быть следующим:

P • B_p=R • B_r

B_p = 1 м • (6 • 10²⁴ кг)/60 кг = 10²³ м.

Если вы не привыкли к математическим формулам, этот результат может вас и не впечатлить, но подстановка привычных единиц длины показывает, что речь идет о 10 млн световых лет (10¹⁶)! Возраст нашей Вселенной около 13700 млн лет (1,37х10¹⁰). Если мы будем считать Вселенную сферической, то от одного ее конца до другого получится 27 400 млн световых лет. Выходит, что всего 2740 таких рычагов покроют расстояние, равное диаметру Вселенной! Кроме того, как мы увидим, сам Архимед представлял Вселенную куда более маленькой, поэтому особенно странно, что он допустил такую ошибку в расчетах. Если он и правда произнес что-нибудь подобное, то, очевидно, только в метафорическом смысле, чтобы показать, насколько может увеличить силу рычаг.

Галилей схематичным рисунком проиллюстрировал задачу с короной. Такую схему он использовал в статье «Маленькие весы».

Галилей, последователь Архимеда

В 1586 году Галилео Галилей (1564-1642) написал очень короткую статью под названием «Маленькие весы», в которой проанализировал рассказ Витрувия о короне тирана Гиерона. Будучи большим знатоком трудов Архимеда и его научного наследия, Галилей довольно скептически отнесся к способу, которым, по представлениям римского архитектора, была решена эта задача. В качестве своего варианта он выдвинул идею гидростатических весов и в общих чертах развил ее меньше чем на пяти страницах, используя схему, показанную на рисунке. В статье Галилей объясняет, что нет причин подозревать Архимеда в проведении такого примитивного с научной точки зрения эксперимента, ведь в его распоряжении были способы гораздо более тонкие, чем просто перелившаяся через край вода. Далее он говорит, что его выкладки основаны на идеях самого Архимеда, содержащихся в трактатах о плавающих телах и о равновесии, а также упоминает об инструменте, которым пользовался Архимед, — гидростатических весах, хотя в наши дни изобретение этих весов часто приписывается самому Галилею. В данной работе он обращает внимание на то, как сложно на глаз различить столь малую разницу в уровнях воды. Тем самым Галилей провел биографическую реконструкцию, которую можно назвать безупречной.

Весы Мора-Вестфаля

Весы Мора-Вестфаля — это неравноплечие весы, используемые для определения плотности жидкостей. Научный принцип, на котором они основываются, учитывая, что это те же самые гидростатические весы,— это закон Архимеда. Они были изобретены немецким фармацевтом Карлом Фридрихом Мором (1806-1879).

Короткое плечо несет противовес, а с длинного свисает поплавок, и в него набирается жидкость, чью плотность предстоит измерить относительно плотности жидкости, в которую поплавок погружается.