Эврика! Радость открытия. Архимед
Шрифт:
Закон Архимеда и корона тирана Гиерона
Перед тем как поговорить о законе Архимеда, мы обратимся к истории, которую обычно вспоминают, когда речь заходит об этом открытии. После этого сформулируем данный закон. В конце мы приведем некоторые комментарии к трактату, где Архимед описал свои идеи о плавании тел.
Гиерон, тиран Сиракуз и родственник Архимеда, заказал некоему мастеру корону из золота, для покупки которого он выдал ему необходимую сумму. Однако, когда он получил заказанный головной убор, у него зародилось подозрение, что ювелир использовал не чистое золото, а его сплав с серебром, чтобы присвоить остаток. Именно тогда у тирана возникла счастливая мысль пригласить Архимеда, поделиться с ним подозрениями и выяснить, не могут ли его знания помочь разрешить эту проблему. Мудрец не ответил сразу, но пообещал подумать над задачей и попробовать найти способ ее решения. Однажды, принимая ванну в одной из городских бань,
В действительности маловероятно, чтобы Архимед бегал по городу в таком виде, да еще крича, как безумный. И все- таки эта легенда, должно быть, основана на каких-то реальных фактах, ведь ее в деталях передают различные историографы. Самым ранним свидетельством мы обязаны римскому архитектору Витрувию, и здесь стоит привести наиболее важную его часть, взятую из трактата «Десять книг об архитектуре»:
«Что же до Архимеда, то из всех его многочисленных и замечательных открытий приводимое мною является, несомненно, доказательством прямо-таки безграничной его изобретательности. А именно, когда Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотую корону, он заказал сделать ее за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении короны в нее было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он немедля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика! Эврика!»
Закон Архимеда изучают во всех школах мира — это один из физических постулатов, которые легко понять интуитивно. Любой человек испытывал уменьшение своего веса при погружении в бассейн, видел летящие воздушные шарики, смотрел на лодки, плавающие по морю, помнит кадры с подводными лодками, спускающимися в океанские глубины. Это только немногие примеры, в основе которых лежит закон Архимеда. Но в его эпоху многие понятия были еще неизвестны или только исследовались. Так, ему пришлось вводить понятие удельного веса (плотности), чтобы иметь возможность объяснить явление плавучести. Тем не менее он ничего не знал о понятии силы, которое в наши дни используется для изучения закона Архимеда, носящего теперь еще одно название: закон гидростатики. Есть много способов его формулировки, один из самых распространенных: «На всякое тело, полностью или частично погруженное в воду или иную жидкость, вертикально вверх действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом». Используя современную терминологию, выталкивающая сила и вес — это две силы, и надо было ждать времен Ньютона, чтобы получить серьезное и точное математическое описание этих величин. Однако закон Архимеда можно трактовать и с помощью геометрических инструментов или пользуясь понятием плотности.
Вес тела в воздухе всегда больше его веса в жидкости. Кажущийся вес в жидкости будет равен реальному весу минус выталкивающая сила. Так что способ вычислить выталкивающую силу Fe, которой подвергается тело,состоит в том, чтобы измерить его вес в воздухе Fp, затем в жидкости F'р и вычесть одно из другого: Fe=Fp– F'р.
Архимед знал, что тело, погружаясь в воду (здесь и далее под водой понимается любая среда, будь то жидкость или газ), должно вытеснить равное объему погруженного тела количество воды. Вот почему рассказ о ванной служит хорошей иллюстрацией для закона гидростатики: если поместить тело в ванну, полную воды, часть жидкости выльется, то есть отправной пункт такой: Vпогруженной части = Vвытесненной воды
С точки зрения приложения сил получается, что вода (или другая среда) действует выталкивающей силой на погруженное
Как это бывает с любой легендой, история короны тирана Гиерона — отчасти правда, а отчасти миф. Можно утверждать, что элемент выдумки есть даже в самом методе, приписываемом Архимеду, с помощью которого он раскрыл обман хитрого ювелира.
Конечно, Архимед мог вывести ремесленника на чистую воду, но с помощью другого, более сложного метода, использовав для этого не только закон гидростатики, но и закон рычага. Посмотрим описание данного открытия, сделанное Марком Витрувием:
«Тогда, исходя из этого открытия, он, говорят, сделал два слитка одинакового веса с короной — один из золота, другой из серебра. Сделав это, он взял объемистый сосуд, наполнил его до самых краев водой и опустил в него серебряный слиток, при погружении которого вода вытекла в количестве, равном величине слитка. Вынув затем слиток, он долил воды, отмерив ее секстарием, так, чтобы она опять сравнялась с краями, как и раньше. Так он определил, что серебро по весу соответствует известному количеству воды. Проделав этот опыт, он подобным же образом опустил в наполненный сосуд золотой слиток и, вынув его, нашел посредством прежнего измерения, что воды убавилось не столько же, а меньше, насколько меньше был объем золотого слитка сравнительно с равным ему по весу серебряным. После же этого, вновь наполнив сосуд и опустив в то же количество воды саму корону, он нашел, что воды вытекло больше, чем при погружении золотого слитка такого же веса; и таким образом, исходя из того, что корона вытеснила больше воды, чем слиток, он показал примесь в золоте серебра и обнаружил покражу подрядчика».
Хотя метод теоретически совершенно правильный, заметим, что вряд ли Архимед пользовался именно таким способом, как описано выше. Сложность состоит в измерении объемов. Сначала для лучшего понимания проблемы упорядочим шаги, описанные Витрувием.
1. Архимед взял два куска материала, про весу идентичные короне, — кусок серебра (mр) и золота (mo).
2. Затем он погрузил серебро в определенное количество воды, из-за чего вылился некоторый ее объем Vp, который ученый измерил.
3. Потом он погрузил золото в такое же количество воды, отчего вылился объем Vo жидкости, который он также измерил.
4. Архимед обнаружил, что Vp больше, чем Vo.
5. Наконец, он опустил настоящую корону в то же количество воды, и она вытеснила объем Vo этой воды, который он тоже измерил.
Иллюстрация к легенде, согласно которой Архимед нашел решение задачи с короной Гиерона,когда находился в общественной бане. 1575 год.
Среди фраз, которые приписывают Архимеду, самая известная — «Дайте мне точку опоры,и я переверну Землю». Ее цитирует Папп Александрийский в VIII книге «Математического собрания». Рисунок воспроизводит гравюру из берлинского издания Фридриха Отто Хулча 1878 года.
6. Ученый выяснил, что объем V, вытесненный короной, больше, чем объем воды, вытесненной золотом, и меньше, чем объем, вытесненный серебром ( Vp > Vc > Vo). Это доказало, что в короне была примесь серебра, то есть она состояла не из одного золота.