Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если qlнахо­дится внутри S, a q2снаружи, то первый интеграл даст q1/e0, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q1+q2)/e0.

Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e0.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r3, да и любое поле 1/rn с n№2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.

Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке произ­водных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бес­конечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции С·Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению r равен rdV, так что закон Гаусса дает

или

(4.38)

Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рас­смотрены позже).

§ 7. Поле заряженного шара

Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам ре­шать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку за­коны электростатики и тяготения совпадают, то то же доказа­тельство может быть проведено и для поля тяготения.)

Зададим вопрос: каково электрическое поле Е в точке Р где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то закон­но допустить, что Е всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концент­рическую со сферой зарядов и проходящую через точку Р (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен

Фиг. 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля одно­родно заряженного шара.

1 распределение заряда r; 2 — гаус­сово поверхность S.

Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному за­ряду сферы Q (деленному на e0):

или

(4.39)

а это как раз та формула, которая получилась бы для точеч­ного заряда Q. Мы решили проблему Ньютона проще, без ин­теграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось зат­ратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаус­са, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту тео­рему, то она практически окупится. Все дело в привычке.

§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электро­статического поля. Два закона электростатики: один — о пропор­циональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое поле есть градиент потенциала, могут также быть изображены геометрически. Мы проиллюстрируем это дву­мя примерами.

Первый пример: возьмем поле точечного заряда. Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к век­торам поля (фиг. 4.12). Их называют линиями поля. Линии поля всюду показывают направление электрического вектора. Но, кроме этого, мы хотим изобразить и абсолютную величину векто­ра. Можно ввести такое правило: пусть напряженность электри­ческого поля представляется «плотностью» линий. Под этим мы подразумеваем число линий на единицу площади, перпенди­кулярной линиям. С помощью этих двух правил мы можем на­чертить картину электрического поля. Для точечного заряда плотность линий должна убывать как 1/r2. Но площадь сфери­ческой поверхности, перпендикулярной к линиям на всех радиу­сах r, возрастает как r2, так что если мы сохраним всюду, на всех расстояниях от центра, одно и то же число линий, то их плот­ность останется пропорциональной величине поля.

Фиг. 4.12. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для положительного точечного заряда.

Фиг. 4.13. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для двух равных, но »разноименных точечных зарядов.

Мы можем гарантировать неизменность числа линий на всех расстояниях, если обеспечим непрерывность линий, т. е. если уж линия вышла из заряда, то она никогда не кончится. На языке линий поля за­кон Гаусса утверждает, что линии могут начинаться только в плюс-зарядах и кончаться только в минус-зарядах. А число линий, покидающих заряд q, должно быть равно q/e0.

Сходную геометрическую картину можно отыскать и для потенциала j. Проще всего изображать его, рисуя поверхности, на которых j постоянно. Их называют эквипотенциальными, т. е. поверхностями одинакового потенциала. Какова геомет­рическая связь эквипотенциальных поверхностей и линий поля? Электрическое поле является градиентом потенциала. Градиент направлен по самому быстрому изменению потенциала, поэтому он перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности. Если бы Е небыло перпендикулярно к поверхности, у него су­ществовала бы составляющая вдоль поверхности и потенциал изменялся бы вдоль поверхности и тогда нельзя было бы считать ее эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности долж­ны поэтому непременно всюду проходить поперек линий элект­рического поля.

Поделиться:
Популярные книги

Эйгор. В потёмках

Кронос Александр
1. Эйгор
Фантастика:
боевая фантастика
7.00
рейтинг книги
Эйгор. В потёмках

Темный Патриарх Светлого Рода 5

Лисицин Евгений
5. Темный Патриарх Светлого Рода
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Патриарх Светлого Рода 5

Всплеск в тишине

Распопов Дмитрий Викторович
5. Венецианский купец
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.33
рейтинг книги
Всплеск в тишине

Дикая фиалка Юга

Шах Ольга
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Дикая фиалка Юга

Неудержимый. Книга IV

Боярский Андрей
4. Неудержимый
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Неудержимый. Книга IV

Великий перелом

Ланцов Михаил Алексеевич
2. Фрунзе
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Великий перелом

Барон меняет правила

Ренгач Евгений
2. Закон сильного
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Барон меняет правила

Титан империи 2

Артемов Александр Александрович
2. Титан Империи
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи 2

Я – Орк. Том 2

Лисицин Евгений
2. Я — Орк
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я – Орк. Том 2

Сирота

Ланцов Михаил Алексеевич
1. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.71
рейтинг книги
Сирота

Системный Нуб 2

Тактарин Ринат
2. Ловец душ
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Системный Нуб 2

Свадьба по приказу, или Моя непокорная княжна

Чернованова Валерия Михайловна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.57
рейтинг книги
Свадьба по приказу, или Моя непокорная княжна

Лорд Системы 12

Токсик Саша
12. Лорд Системы
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Лорд Системы 12

Воин

Бубела Олег Николаевич
2. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.25
рейтинг книги
Воин