Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:

А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправ­ную точку Р0и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р0. Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р0до точки а, через j(а), а работу на участке от Р0до точки bчерез j(b) (фиг. 4.4).

Работа перехода от а к Р0(по дороге к b) равна j (a) с минусом, так что

(4.21)

Так как повсюду будет встречаться только разность значе­ний функции j в двух точках, то положение точки Р0в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потен­циалом в произвольной точке.

Электростатический потенциал

(4.22)

Часто очень удобно брать отправную точку на бесконеч­ности. Тогда потенциал jодиночного заряда в начале коорди­нат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]

(4.23)

Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от вто­рого, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, по­тенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргу­ментами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем полу­чить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозна­ченной как (1):

(4.24)

(4.25)

Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из неко­торой отправной точки.

§4. E = -Сj

С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, дейст­вующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труд­нее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одина­ковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинте­ресуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести еди­ничный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — го­ризонтальная линия от хдо х+Dх.Работа равна разности по­тенциалов в двух точках

Но работа против действия силы на том же отрезке равна

Мы видим, что

(4.26)

Равным образом, Еу=-дj/ду, Ez=-dj/dz; все это в обозна­чениях векторного анализа можно подытожить так:

4.27)

Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном ана­лизе: с тем, что для любого скалярного поля

(4.28)

Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал j пред­ставляется трехмерным интегралом, подобным тому, кото­рый мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется j? Да. Для вычисления j нужно взять один ин­теграл, а для вычисления Е—три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r3. Во многих прак­тических случаях оказывается, что для получения электриче­ского поля легче сперва подсчитать j, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.

Но потенциал j имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-gradj, где j дается уравнением (4.22). Но если Е—это градиент скаляр­ного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:

(4.29)

Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.

На самом деле то, что СXЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что ра­бота обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. по любому пути.

Мы видели в гл. 3, что в таком поле СXЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электро­статики — это поле без роторов.

Вы можете потренироваться в векторном исчислении, дока­зав равенство нулю вектора СXЕ другим способом, т. е. вычис­лив компоненты вектора СXЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение СXЕ в нуль для любого распределе­ния зарядов.

Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует по­тенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r2, не имело никакого значе­ния, при любой зависимости от rполучилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е выте­кают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов элект­ричества.

§ 5. Поток поля Е

Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредст­венно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстоя­ния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с верши­ной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на еди­ницу площади — интенсивность — должно быть обратно про­порционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и элект­рическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!

Поделиться:
Популярные книги

Эйгор. В потёмках

Кронос Александр
1. Эйгор
Фантастика:
боевая фантастика
7.00
рейтинг книги
Эйгор. В потёмках

Темный Патриарх Светлого Рода 5

Лисицин Евгений
5. Темный Патриарх Светлого Рода
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Патриарх Светлого Рода 5

Всплеск в тишине

Распопов Дмитрий Викторович
5. Венецианский купец
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.33
рейтинг книги
Всплеск в тишине

Дикая фиалка Юга

Шах Ольга
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Дикая фиалка Юга

Неудержимый. Книга IV

Боярский Андрей
4. Неудержимый
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Неудержимый. Книга IV

Великий перелом

Ланцов Михаил Алексеевич
2. Фрунзе
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Великий перелом

Барон меняет правила

Ренгач Евгений
2. Закон сильного
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Барон меняет правила

Титан империи 2

Артемов Александр Александрович
2. Титан Империи
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи 2

Я – Орк. Том 2

Лисицин Евгений
2. Я — Орк
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я – Орк. Том 2

Сирота

Ланцов Михаил Алексеевич
1. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.71
рейтинг книги
Сирота

Системный Нуб 2

Тактарин Ринат
2. Ловец душ
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Системный Нуб 2

Свадьба по приказу, или Моя непокорная княжна

Чернованова Валерия Михайловна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.57
рейтинг книги
Свадьба по приказу, или Моя непокорная княжна

Лорд Системы 12

Токсик Саша
12. Лорд Системы
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Лорд Системы 12

Воин

Бубела Олег Николаевич
2. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.25
рейтинг книги
Воин