Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:
А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправную точку Р0и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р0. Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р0до точки а, через j(а), а работу на участке от Р0до точки b — через j(b) (фиг. 4.4).
(4.21)
Так как повсюду будет встречаться только разность значений функции j в двух точках, то положение точки Р0в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потенциалом в произвольной точке.
Электростатический потенциал
(4.22)
Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал jодиночного заряда в начале координат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]
(4.23)
Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от второго, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, потенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргументами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем получить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозначенной как (1):
(4.24)
(4.25)
Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки.
§4. E = -Сj
С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от хдо х+Dх.Работа равна разности потенциалов в двух точках
Но работа против действия силы на том же отрезке равна
Мы видим, что
(4.26)
Равным образом, Еу=-дj/ду, Ez=-dj/dz; все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:
4.27)
Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля
(4.28)
Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал j представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется j? Да. Для вычисления j нужно взять один интеграл, а для вычисления Е—три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r3. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать j, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.
Но потенциал j имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-gradj, где j дается уравнением (4.22). Но если Е—это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:
(4.29)
Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.
На самом деле то, что СXЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. по любому пути.
Мы видели в гл. 3, что в таком поле СXЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.
Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора СXЕ другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора СXЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение СXЕ в нуль для любого распределения зарядов.
Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r2, не имело никакого значения, при любой зависимости от rполучилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.
§ 5. Поток поля Е
Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с вершиной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на единицу площади — интенсивность — должно быть обратно пропорционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и электрическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!