Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

(3.29)

где D — постоянная. Она равна x/cv.

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающее диффузию

в самом общем виде. Немного позже мы зай­мемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

§ 5. Циркуляция векторного поля

Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характе­ристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от Сy. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.

Пусть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде

(3.30)

Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой Г есть криволиней­ный интеграл от С t (касатель­ной составляющей С).

Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: Г 1 a ab и Г 2 ь a Ь .

Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кру­жочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рас­считывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и по­ток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем пока­зать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г1 и Г2 (фиг. 3.8). Контур Г1 состоит из Гa — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Гab. Контур Г2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.

Циркуляция вдоль Г1 есть сумма интеграла вдоль Га и вдоль ГаЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г2 есть сумма двух ча­стей, одной вдоль Гb, другой — вдоль Гab. Интеграл вдоль Гab для кривой Г2 имеет знак, противоположный тому знаку, кото­рый он имел для кривой Г1, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направ­ления поворота нужно брать одни и те же).

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Гab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс раз­резания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к цирку­ляции вдоль единственного первоначального контура.

Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное мно­жество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зави­сят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).

Фиг. 3.9. Некоторая поверх­ность, ограниченная конту­ром Г.

Поверхность разделена на множе­ство маленьких участков, каждый примерно в форме квадрата. Цир­куляция по Г есть сумма циркуля­ции по всем маленьким контурам.

Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать до­статочно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, под­считав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.

§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса

Как нам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, он распо­ложен в одной из координатных плоскостей), то расчет сде­лать легко. Так как пока мы не делали никаких предположений об ориентации осей координат, мы вправе выбрать их так, чтобы тот квадратик, на котором мы сосредоточили свое вни­мание, оказался в плоскости ху (фиг. 3.10). Если результат расчета будет выражен в векторной записи, то можно говорить, что он не зависит от специальной ориентации плоскости.

Поделиться:
Популярные книги

Идеальный мир для Лекаря 19

Сапфир Олег
19. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 19

Вперед в прошлое 6

Ратманов Денис
6. Вперед в прошлое
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Вперед в прошлое 6

Назад в ссср 6

Дамиров Рафаэль
6. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.00
рейтинг книги
Назад в ссср 6

Дурашка в столичной академии

Свободина Виктория
Фантастика:
фэнтези
7.80
рейтинг книги
Дурашка в столичной академии

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Идеальный мир для Социопата 6

Сапфир Олег
6. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.38
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 6

Как я строил магическую империю 2

Зубов Константин
2. Как я строил магическую империю
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Как я строил магическую империю 2

Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Марей Соня
2. Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.43
рейтинг книги
Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор - 2

Шведский стол

Ланцов Михаил Алексеевич
3. Сын Петра
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Шведский стол

"Фантастика 2024-104". Компиляция. Книги 1-24

Михайлов Дем Алексеевич
Фантастика 2024. Компиляция
Фантастика:
боевая фантастика
5.00
рейтинг книги
Фантастика 2024-104. Компиляция. Книги 1-24

В зоне особого внимания

Иванов Дмитрий
12. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
В зоне особого внимания

Авиатор: назад в СССР 11

Дорин Михаил
11. Покоряя небо
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Авиатор: назад в СССР 11

Наследник старого рода

Шелег Дмитрий Витальевич
1. Живой лёд
Фантастика:
фэнтези
8.19
рейтинг книги
Наследник старого рода

Идеальный мир для Лекаря

Сапфир Олег
1. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря