Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:
Тот же результат был доказан в гл. 2, § 7 при помощи векторной алгебры.
Рассмотрим теперь частный случай, когда на маленький контур Г натягивается большая поверхность S (фиг. 3.13). Мы хотим посмотреть, что случится, когда контур стянется в точку. Тогда граница поверхности исчезнет, а сама поверхность превратится в замкнутую. Если вектор С повсюду конечен, то криволинейный интеграл по Г должен стремиться к нулю по мере стягивания контура (интеграл в общем-то пропорционален длине контура Г, а она убывает). Согласно теореме Стокса, поверхностный интеграл от (СXС)n тоже должен убывать
ранее. Получается новая теорема:
Это нас должно заинтересовать, потому что у нас уже есть одна теорема о поверхностном интеграле векторного поля. Такой поверхностный интеграл равен объемному интегралу от дивергенции вектора, как это следует из теоремы Гаусса [уравнение (3.18)]. Теорема Гаусса в применении к СXС утверждает, что
(3.40)
Мы заключаем, что интеграл в правой части должен обращаться в нуль и что это должно быть справедливо для любого векторного поля С, каким бы оно ни было.
(3.41)
Раз уравнение (3.41) выполнено для произвольного объема, то в каждой точке пространства подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Получается, что
Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, § 7. Теперь мы начинаем понимать, как все здесь прилажено одно к другому.
§ 8. Итоги
Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчислении. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3.
1. Операторы д/дх, д/ду и д/dz можно рассматривать как три составляющих векторного оператора С; формулы, следующие из векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором
2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей градиента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей первую точку со второй:
(3.42)
(3.43)
4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим контуром
(3.44)
От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите внимание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.
Более привычно вместо e 0 писать e 0 /4p; тогда коэффициент 4p исчезает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]
Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоянную m 0 =e 0 /c 2 , называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемостью пустоты (так же, как e 0 называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают e 0 E=D, B=m 0 H.
Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!
*Конечно, последующие выкладки в равной мере относятся и к любому прямоугольному параллелепипеду.
Глава 4
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§1. Статика
§2.Закон Кулона; наложение сил
§З. Электрический потенциал
§4. E=-
§5.Поток поля Е
§6.Закон Гаусса; дивергенция поля Е
§7 .Поле заряженного шара
§8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности
Повторишь: гл.13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»
§ 1. Статика
Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромагнетизм целиком) запрятана в уравнениях Максвелла:
Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравнительно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. r и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид: