Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:

§ 7. Вторые производные векторных полей

Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно соста­вить несколько комбинаций:

(2.45)

Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.

Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и

АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,

(2.46)

Можно

понять, как это получается, если расписать одну из компонент:

что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределе­ния температур, да и для всякой скалярной функции.

Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на век­торное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю

А·(АХВ) = 0, (2.48)

потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):

С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)

В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.

Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.

В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интерес­ная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ш; (пси), такое, что A=gradш. Иными словами, справедлива

Т Е О Р Е М А

Если СXА = 0,

то имеется ш, (2.50)

такое, что А = Сш.

. Сходная теорема формулируется и для случая, когда ди­вергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивер­генция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.

ТЕОРЕМА

Если С·D = 0,

то имеется С, (2.51)

такое, что D = СXC.

Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты

Далее,

(2.52)

что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скаляр­ное поле.

Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:

(2.53)

Можно рассматривать С2 как новый оператор. Это скаляр­ный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.

(2.54)

Раз оператор лапласиана —оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора

Рассмотрим еще одну возможность: СX(СX h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если исполь­зовать векторное равенство (2.6)

АX(ВXС) = В(А·С)-С(А·В). (2.55)

Заменим в этой формуле А и В оператором у и положим C=h. Получится

СX(СXh) = С(Сb)-h(С·С)...???

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но послед­ний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

АX(ВXС) = В(А·С) -(А·В)С. (2.56)

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу под­становку в (2.56). Получится

СX (СXh) = С (Сh)-( С·С)h. (2.57)

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно пра­вильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. По­следний член — это лапласиан, так что с равным успехом мож­но написать

СX (СXh) = С(С·h)- С2h. (2.58)

Из нашего списка (2.45) двойных С мы разобрали все комби­нации, кроме (в), С(С·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь рас­чете.

Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

(2.59)

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый век­торный оператор СХС. Понимаете, почему?

§ 8. Подвохи

Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора y Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о сле­дующем выражении, куда входят две скалярные функции ш и j (фи):

Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на

(Аa)X(Аb),

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одина­ковых векторов АXА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора С отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ш, а второй — на другую, j. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком у, они все же должны рассматри­ваться как разные операторы. Направление Сш зависит от функ­ции ш, а направление Сj — от функции j, так что они не обя­заны быть параллельными:

Поделиться:
Популярные книги

Эффект Фостера

Аллен Селина
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Эффект Фостера

Аромат невинности

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
9.23
рейтинг книги
Аромат невинности

Осознание. Пятый пояс

Игнатов Михаил Павлович
14. Путь
Фантастика:
героическая фантастика
5.00
рейтинг книги
Осознание. Пятый пояс

Вдова на выданье

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Вдова на выданье

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Младший научный сотрудник

Тамбовский Сергей
1. МНС
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.40
рейтинг книги
Младший научный сотрудник

Здравствуй, 1984-й

Иванов Дмитрий
1. Девяностые
Фантастика:
альтернативная история
6.42
рейтинг книги
Здравствуй, 1984-й

Вечная Война. Книга VIII

Винокуров Юрий
8. Вечная Война
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическая фантастика
космическая фантастика
7.09
рейтинг книги
Вечная Война. Книга VIII

Ваше Сиятельство 3

Моури Эрли
3. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 3

Последний попаданец 12: финал часть 2

Зубов Константин
12. Последний попаданец
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Последний попаданец 12: финал часть 2

Паладин из прошлого тысячелетия

Еслер Андрей
1. Соприкосновение миров
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
6.25
рейтинг книги
Паладин из прошлого тысячелетия

Темный Лекарь

Токсик Саша
1. Темный Лекарь
Фантастика:
фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Лекарь

Гром над Академией. Часть 1

Машуков Тимур
2. Гром над миром
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
5.25
рейтинг книги
Гром над Академией. Часть 1

Последняя Арена 5

Греков Сергей
5. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 5