Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Фейнман Ричард Филлипс

во-вторых (насколько нам известно), точны. Если вы их выучили, вы всегда можете к ним вернуться. В них нет ничего, что следовало бы потом за­быть.

Чтобы начать понимать, что должно про­изойти в тех или иных условиях, вам понадо­бится какое-то время. Вам придется порешать уравнения, и всякий раз, когда вы решите их, вы тем самым узнаете что-то новое о характере решений. Чтобы запомнить эти решения, полезно также сформулировать их смысл на языке линий поля и иных подобных понятий. Таков путь, на котором приходит истинное «понимание» уравнений. В этом и заключается раз­ница между физикой и математикой. Математики или люди с математическим складом ума часто при «изучении» физики теряют физику из виду и впадают в заблуждение. Они говорят: «Послушайте, эти

дифференциальные уравнения — уравнения Максвелла — ведь это все, что есть в электродинамике; ведь сами физики признают, что нет ничего, что бы не содержалось в этих уравнениях. Уравнения эти сложны; ладно, но это всего лишь математические уравнения, и если я разберусь в них ма­тематически, я разберусь и в физике». Но ничего из этого не выходит. Математики, которые подходят к физике с этой точки зрения (а таких очень много), обычно не делают большого вкла­да в физику, да, кстати, и в математику. Их постигает неудача оттого, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким понима­нием уравнений.

Дирак объяснил, что значит действительно понять уравне­ние — понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание — это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.

Обычно курс физики подобного рода строится так, что физи­ческие представления развиваются постепенно: начиная с са­мых простейших явлений, переходят ко все более и более слож­ным. Кое-что из изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам больше по душе обратный подход. Луч­ше начать с полных, самых общих законов, а затем повер­нуть вспять и применять их к простым задачам, развивая фи­зические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать.

Наш подход совершенно противоположен подходу истори­ческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают множество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть зна­ниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что они сделали. Так что в этих лекциях мы будем вынуждены прене­бречь историей предмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях; и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики.

§ 2. Скалярные и векторные поля — Т и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математи­ческого подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике век­торных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы

Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:

Фиг. 2.1. Температура Т — пример скалярного поля. С каждой точкой (х, у, z) в прост­ранстве связывается число Т(х, у, z). Все точки на поверхности с помет­кой Т=20° (изображенной в виде кривой при z=0) имеют одну и ту же температуру. Стрелки — это примеры вектора потока тепла h.

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Dx; Dy и Dz®0.

Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — это просто такое поле, кото­рое в каждой точке характеризуется одним-единственным чис­лом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во вре­мени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В ка­честве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других — осту­жен, так что его температура меняется ют точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией х, у и z — положения в пространстве, измеренного в прямоугольной си­стеме координат. Температура — это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле — это вообра­зить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно гори­зонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят назва­ние «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.

Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке — это вектор, кото­рый является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой при­мер — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направ­лениях. Поток тепла — это величина, имеющая направление;

Фиг. 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле — пример век­торного поля.

обозначим ее h; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.

Определим теперь h более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, про­ходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикуляр­ный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если DJ — теп­ловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь эле­мент поверхности Dа, то