Чтение онлайн

на главную

Жанры

Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм
Шрифт:

С этим обозначением (2.13) переписывается в более компакт­ной форме

(2.15)

Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) так­же служит иллюстрацией к нашему утверждению, что ДТ — действительно вектор.

Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы по­кажем, что компоненты ДТ преобразуются абсолютно так же, как я компоненты R, а значит, ДТ — тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11. Мы выберем новую систему координат

х', у', z' и в ней вычис­лим дТ/дх', дТ/ду': дТ/dz'. Для простоты положим z=z', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Можете сами заняться проверкой более общего случая.)

Фиг. 2.6. Переход к повернутой системе координат (а) и частный

случай интервала DR , параллель­ного к оси х (б).

Выберем систему х', у', повернутую относительно х, y-системы на угол 9 (фиг. 2.6, а). Координаты точки (х, у) в штрихованной системе имеют вид:

(2.16)

(2.17)

или, решая относительно x и y,

(2.18)

(2.19)

Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.

Рассмотрим теперь разницу в температурах двух сосед­них точек Р1и Р2(фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем

(2.20)

так как Dу = 0.

А в штрихованной системе? Там мы бы написали

(2.21)

Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что

(2.22)

и

(2.23)

так как Dy отрицательно при положительном Dx. Подстав­ляя в (2.21), получаем

(2.24)

(2.25)

Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что

(2.26)

Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что дТ/ду и dT/dz суть у- и z-компоненты. Стало быть, СТ есть на самом деле вектор. Это векторное поле, обра­зованное из скалярного поля Т.

§ 4. Оператор С

А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. До­казательство того, что grad Т, или СT является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением

(2.27)

Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».

Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компо­нентами векторного оператора. Можно написать

(2.28)

это означает, конечно,

(2.29)

Мы абстрагировали градиент от Т — в этом и есть остроумие. Конечно, вы должны все время помнить, что С — это опе­ратор. Сам по себе он ничего не означает. А если С сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведе­ние TС? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна

(2.30)

а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов ТСпо-прежнему можно называть векто­ром.

А сейчас помножим С на скаляр с другой стороны. Полу­чится произведение СT. В обычной алгебре

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что опе­ратор yподчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от С Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что ТСэто опе­ратор, а произведение СТ — это уже не «жаждущий» опера­тор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного из­менения Т: x– компонента СТ показывает, насколько быстро Т изменяется в

x-направлении. А куда направлен вектор СТ? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента СТ в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление СТ — это то, по которому СТ обла­дает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому СТ меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.

Поделиться:
Популярные книги

Кодекс Охотника. Книга XXIV

Винокуров Юрий
24. Кодекс Охотника
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XXIV

Король Масок. Том 2

Романовский Борис Владимирович
2. Апофеоз Короля
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Король Масок. Том 2

Барон диктует правила

Ренгач Евгений
4. Закон сильного
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Барон диктует правила

На границе империй. Том 10. Часть 3

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 3

Возвышение Меркурия. Книга 13

Кронос Александр
13. Меркурий
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Возвышение Меркурия. Книга 13

Тайный наследник для миллиардера

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
5.20
рейтинг книги
Тайный наследник для миллиардера

Волк 2: Лихие 90-е

Киров Никита
2. Волков
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Волк 2: Лихие 90-е

Чужая дочь

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Чужая дочь

Система Возвышения. (цикл 1-8) - Николай Раздоров

Раздоров Николай
Система Возвышения
Фантастика:
боевая фантастика
4.65
рейтинг книги
Система Возвышения. (цикл 1-8) - Николай Раздоров

Отмороженный

Гарцевич Евгений Александрович
1. Отмороженный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Отмороженный

Изгой. Трилогия

Михайлов Дем Алексеевич
Изгой
Фантастика:
фэнтези
8.45
рейтинг книги
Изгой. Трилогия

Столичный доктор

Вязовский Алексей
1. Столичный доктор
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
8.00
рейтинг книги
Столичный доктор

Сумеречный стрелок 8

Карелин Сергей Витальевич
8. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный стрелок 8

Действуй, дядя Доктор!

Юнина Наталья
Любовные романы:
короткие любовные романы
6.83
рейтинг книги
Действуй, дядя Доктор!