Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Фейнман Ричард Филлипс

До появления работы Максвелла известные законы элек­тричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изучали в гл. 3—14 (вып. 5) и гл. 15—17. В частности, урав­нение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде

(18.1)

Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и вы­разил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ С еще не был придуман, впер­вые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важ­ность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1)

есть нечто странное. Если взять дивер­генцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким об­разом, это уравнение требует, чтобы дивергенция j также была равна нулю. Но если дивергенция j равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.

Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьше­нию заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение

(18.2)

фактически есть наше определение j. Это уравнение выражает самый фундаментальный закон — сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить dE/dt в правую часть уравнения (18.1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1:

Во времена Максвелла еще не привыкли мыслить в терми­нах абстрактных полей. Максвелл обсуждал свои идеи с по­мощью модели, в которой вакуум был подобен упругому телу. Он пытался также объяснить смысл своего нового уравнения с помощью механической модели. Теория Максвелла принималась очень неохотно, во-первых, из-за модели, а, во-вторых, потому, что вначале не было экспериментального подтверждения. Сей­час мы лучше понимаем, что дело в самих уравнениях, а не в модели, с помощью которой они были получены. Мы можем только задать вопрос, правильны ли эти уравнения или они ошибочны. Ответ дает эксперимент. И уравнения Максвелла были подтверждены в бессчетных экспериментах. Если мы отбросим все строительные леса, которыми пользовался Мак­свелл, чтобы построить уравнения, мы придем к заключению, что прекрасное здание, созданное Максвеллом, держится само по себе. Он свел воедино все законы электричества и магне­тизма и создал законченную и прекрасную теорию.

Давайте покажем, что добавочный член имеет тот самый вид, который требуется, чтобы преодолеть обнаруженную Мак­свеллом трудность. Взяв дивергенцию его уравнения (IV в табл. 18.1), мы должны получить, что дивергенция правой части равна нулю:

(18.3)

Во втором слагаемом можно переставить порядок дифферен­цирования по координатам и времени, так что уравнение может быть переписано в виде

(18.4)

Но, согласно первому из уравнений Максвелла, дивергенция Е равна r/e₀. Подставляя это равенство в (18.4), мы придем к уравнению (18.2), которое, как мы знаем, правильно. И на­оборот, если мы принимаем уравнения Максвелла (а мы при­нимаем их потому, что никто никогда не обнаружил экспери­мента, который опроверг бы их), мы должны прийти к выводу, что заряд всегда сохраняется.

Законы физики не дают ответа на вопрос: «Что случится, если заряд внезапно возникнет в этой точке, какие будут при этом электромагнитные эффекты?». Ответ дать нельзя, потому что наши уравнения утверждают, что такого не происходит. Если бы это случилось, нам понадобились бы новые законы, но мы не можем сказать, какими бы они были. Нам не прихо­дилось наблюдать, как ведет себя мир без сохранения заряда. Согласно нашим уравнениям, если вы внезапно поместите за­ряд в некоторой точке, вы должны принести его туда откуда-то еще. В таком случае мы можем говорить о том, что произошло.

Когда мы добавили новый член в уравнение для ротора Е, мы обнаружили, что им описывается целый новый класс явле­ний. Мы увидим также, что небольшая добавка Максвелла к уравнению для СXB имеет далеко идущие последствия. Мы затронем лишь некоторые из них в этой главе.

§ 2. Что дает добавка

В качестве нашего первого примера рассмотрим, что про­исходит со сферически симметричным радиальным распределе­нием тока. Представим себе маленькую сферу с нанесенным на ней радиоактивным веществом. Это радиоактивное вещество испускает наружу заряженные частицы. (Мы можем представить также большой кусок желе с маленьким отверстием в центре, в которое с помощью шприца впрыскиваются какие-то заряды и из которого заряды медленно просачиваются.)

Фuг18.1. Каково магнит­ное поле сферически сим­метричного тока?

В любом случае мы имели бы ток, который повсюду направлен по радиусу на­ружу. Будем считать, что величина его одинакова во всех на­правлениях.

Пусть полный заряд внутри сферы произвольного радиуса r есть Q(r). Если плотность радиального тока при таком же радиусе равна j(r), то уравнение (18.2) требует, чтобы Q уменьшалось со скоростью

(18.5)

Спросим теперь о магнитном поле, создаваемом токами в этом случае. Предположим, мы начертили какую-то петлю Г на сфере радиуса r(фиг. 18.1). Сквозь петлю проходит какой-то ток, поэтому можно ожидать, что магнитное поле циркулирует в направлении, указанном на фигуре.

И сразу возникает затруднение. Как может поле В иметь какое-то особое направление на сфере? При другом выборе петли Г мы бы заключили, что ее направление прямо противо­положно указанному. Поэтому возможна ли какая-либо цир­куляция В вокруг токов?

Нас спасают уравнения Максвелла. Циркуляция В зависит не только от полного тока, проходящего сквозь петлю Г, но и от скорости изменения со временем электрического потока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались. Посмотрим, получается ли это.

Электрическое поле на расстоянии r должно быть равно Q(г)/4pe₀r², пока, как мы предположили, заряд распределен симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда равна

(18.6)

Сравнивая это с (18.5), мы видим, что для любого расстояния

(18.7)

В уравнении IV (табл. 18.1) оба члена от источника погашаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в нашем при­мере нет.

В качестве второго нашего примера рассмотрим магнитное поле провода, используемого для зарядки плоского конденсато­ра (фиг. 18.2). Если заряд Q на пластинах со временем изме­няется (но не слишком быстро), ток в проводах равен dQ/dt. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, которое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен созда­вать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток.