Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Фейнман Ричард Филлипс

Фиг. 18.4. Зависимость вели­чины В (или E) от х. а — спустя время t после начала движения заряженной плоскости; б — поля от заряженной плоскости, начавшей двигаться в момент t= Т в сторону отрицательных у; в — сумма а и б.

Если электрические поля образовались, они должны начинаться с нуля и меняться к какому-то значению. Возникнет некая производная dE/dt, которая будет вносить вклад вместе с током J в создание магнитного поля. Так разные уравнения зацеп­ляются друг за друга, и мы должны попытаться найти решения для всех полей сразу.

Рассматривая уравнения Максвелла порознь,

нелегко сразу получить решение. Поэтому сначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно ли оно удовлетворяет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, на самом деле создается прямо вблизи листа с током (для малых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в ней не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некоторого времени остается нулевым, а затем внезапно включается. Короче говоря, мы включаем ток и не­медленно вблизи него включается магнитное поле с постоян­ным значением В; затем включенное поле В распространяется от области источника. Через некоторое время появляется одно­родное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распространяется как в положительном, так и в отрицательном x-направлении.

Фиг. 18.5. То же, что на фиг. 18.3 (вид сверху).

Поле Е делает то же самое. До момента t=0 (когда мы вклю­чаем ток) поле повсюду равно нулю. Затем, спустя время t, как Е, так и В постоянны вплоть до расстояния х = vt, а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно прилив­ной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее v. Изображение зависимости величины Е или В от х (как они ка­жутся в момент t) показано на фиг. 18.4, а. Если снова посмот­реть на фиг. 18.3 в момент t, то мы увидим, что область между x=±vt «занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы предполагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В простираются бесконечно далеко в у- и z-направлениях. (Мы не можем изобразить бес­конечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происхо­дит в конечной области.)

Теперь мы хотим проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 18.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси z (фиг. 18.6). Начнем с вида сбоку. Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для +x и от стра­ницы для -х, а электрическое поле направлено вниз всюду, вплоть до x=± vt.

Посмотрим, согласуются ли такие поля с уравнениями Мак­свелла. Сначала нарисуем одну из тех петель, которыми мы пользовались для вычисления контурного интеграла, скажем прямоугольник Г₂ на фиг. 18.6.

Фиг. 18.6. То же, что на фиг. 18.3 (вид сбоку).

Заметьте, что одна сторона прямоугольника проходит в области, где есть поля, а другая — в области, до которой поля еще не дошли. Через эту петлю проходит какой-то магнитный поток. Если он изменяется, должна появиться э. д. с. вдоль петли. Если волновой фронт движется, мы будем иметь меняющийся магнитный поток, поскольку поверхность, внутри которой существует поле В, непрерывно увеличивается со скоростью v. Поток внутри Г₂ равен произведению В на ту часть поверхности внутри Г₂₎ где есть магнитное поле. Скорость изменения потока (посколь­ку величина В постоянна) равна величине поля, умноженной на скорость изменения поверхности. Скорость изменения по­верхности найти легко. Если ширина прямоугольника Г₂ равна L, то поверхность, в которой В существует, меняется как LvDt за отрезок времени Dt (см. фиг. 18.6). Скорость изме­нения потока тогда равна BLv. По закону Фарадея она должна быть равна контурному интегралу от Е вокруг Г₂, который есть просто EL. Мы получаем равенство

(18.10)

Таким образом, если отношение Е к В равно v, то рассматри­ваемые нами поля будут удовлетворять уравнению Фарадея. Но это не единственное уравнение; у нас есть еще одно, связывающее Е и В:

(18.11)

Чтобы применить это уравнение, посмотрим на вид сверху, изображенный на фиг. 18.5. Мы уже видели, что это уравнение дает нам значение В вблизи заряженного листа. Кроме того, для любой петли, нарисованной вне листа, но позади волнового фронта, нет ни ротора В, ни j или меняющегося поля Е, так что уравнение там справедливо. А теперь посмотрим, что происходит в петле Г₁, которая пересекает волновой фронт, как показано на фиг. 18.5. Здесь нет токов, поэтому уравнение (18.11) можно записать в интегральной форме так:

(18.12)

Контурный интеграл от В есть просто произведение В на L. Скорость изменения потока Е возникает только благодаря продвигающемуся волновому фронту. Область внутри Г₁, где Е не равно нулю, увеличивается со скоростью vL. Правая сто­рона (18.12) тогда равна vLE. Уравнение это приобретает вид

(18.13)

Мы имеем решение, когда поля В и Е постоянны за фрон­том, причем оба направлены под прямыми углами к направле­нию, в котором движется фронт, и под прямыми углами друг к другу. Уравнения Максвелла определяют отношение Е к В. Из (18.10) и (18.13) получаем

Но одну минутку! Мы нашли два разных выражения для отно­шения Е/В. Может ли такое поле, как мы описываем, дей­ствительно существовать? Имеется лишь одна скорость v, для которой оба уравнения могут быть справедливы, а именно v = с. Волновой фронт должен передвигаться со скоростью с. Вот пример, когда электрическое возмущение от тока распро­страняется с определенной конечной скоростью с.

А теперь спросим, что произойдет, если мы внезапно оста­новим заряженный лист, после того как он двигался в течение короткого времени Т? Увидеть, что случится, можно с помощью принципа суперпозиции. У нас был ток, равный нулю, а затем его внезапно включали. Мы знаем решение для этого случая. Теперь мы собираемся добавить другой ряд полей. Мы берем другой заряженный лист и внезапно начинаем его двигать в противоположном направлении с той же скоростью, только спустя время Т после начала движения первого листа. Полный ток от двух листов вместе сначала равен нулю, потом он вклю­чается в течение времени Т, затем выключается снова, потому что оба тока погашаются. Так мы получаем прямоугольный «импульс» тока.

Новый отрицательный ток создает такие же поля, как и по­ложительный, но с обратными знаками и, разумеется, с запаздыванием во времени Т. Волновой фронт по-прежнему движется со скоростью с. В момент времени t он достигает расстояния x=±c(t- Т) (см. фиг. 18.4, б). Итак, мы имеем два «куска» поля, перемещающихся со скоростью с (см. фиг. 18.4, а и б). Соединенные поля будут такими, как показано на фиг. 18.4, в. Для х>сt поля равны нулю, между х=с(t-Т) и x=ct они постоянны (со значениями, которые мы нашли выше), и для x<c(t-Т) они снова равны нулю.