Физика фондового рынка. Краткая история предсказаний непредсказуемого
Шрифт:
Проблемой стала неподготовленность аудитории. Башелье пребывал на волне приближающейся новой эры (в конце концов, он только что изобрел финансовую математику). Но никто из его современников не оценил то, что он совершил. Заслуги Башелье, бесспорно, могли бы по достоинству оценить математики, физики, работающие с математическими моделями. Но в 1900 году европейская математика пребывала в застое. В математических кругах было ощущение, что наука еще только начинает выходить из кризиса, в который она погрузилась в начале 1860-х годов, когда выяснилось, что многие традиционные теоремы ошибочны, и математики начали опасаться, что начинают рушиться основы их научной дисциплины. Нерешенным, в частности, оставался вопрос, можно ли предложить достаточно строгую методологию, которая убедит в том, что результаты новых исследований, наводнившие научные журналы в ту пору, также несовершенны. Резкий крен в формализм настолько отравил кладезь математики, что на прикладную математику и даже на математическую физику математики-конформисты глядели с нескрываемым подозрением. Идея перенесения математики на совершенно новое
Влияние Пуанкаре было достаточно сильным, чтобы помочь Башелье с защитой диссертации, но даже он был вынужден констатировать, что реферат Башелье слишком далеко выходит за рамки господствовавших во французской математике тенденций, и поэтому не заслуживает высшей оценки «с отличием» [28] . Диссертация получила оценку «достойно», даже не «весьма достойно». В заключении диссертационной комиссии, написанном самим Пуанкаре, он выразил Башелье глубокую признательность за его труд – как за новую математику, так и за глубокое проникновение во внутренний механизм финансовых рынков. Но высшую оценку за диссертацию по математике, которая по стандартам того времени не была посвящена какому-то определенному разделу классической математики, поставить было невозможно. А без нее перспективы Башелье как профессионального математика были ничтожными. Благодаря Пуанкаре Башелье остался в Париже, получил несколько небольших грантов от Парижского университета, независимых фондов. Они позволяли ему оплачивать свои скромные повседневные расходы. В 1909 году Башелье разрешили читать лекции в университете, правда, бесплатно.
28
Отчет Пуанкаре о диссертации Башелье можно найти у Курто и Кабанова (2002 г.), а также в переводе Дэйвиса и Этериджа (2006).
Самый жестокий сюрприз судьба преподнесла Башелье в 1914 году. В начале года Совет университета поручил декану факультета естественных наук создать постоянную должность для Башелье. Научно-преподавательская карьера, о которой он всегда мечтал, становилась реальностью. Но до того как должность была окончательно утверждена, злой рок снова отбросил Башелье назад. В августе германские войска вторглись во Францию. В стране была объявлена мобилизация. Девятого сентября сорокачетырехлетний математик, совершивший никем не замеченную революцию в области науки о финансах, был призван на службу в армию.
Представьте себе картину: солнце светит в окно пыльного чердака. Если правильно сфокусировать зрение, можно увидеть, как мельчайшие пылинки пляшут в луче света. Кажется, что они висят в воздухе. Но если присмотреться внимательнее, можно увидеть, как они время от времени совершают судорожные движения, меняют направление, перемещаясь то вверх, то вниз. Если бы вам удалось посмотреть на эту картину в достаточном приближении, например через микроскоп, вам удалось бы увидеть, что частицы постоянно вибрируют. Это на первый взгляд беспорядочное движение, по словам римского поэта Тита Лукреция, написанным приблизительно в 60 году до нашей эры, говорит о том, что, должно быть, существуют некие мелкие невидимые частицы – он назвал их «первичными тельцами», – которые с разных сторон наносят удары по пылинкам и толкают их то в одном направлении, то в другом [29] .
29
См. у Лукреция (2008 г. [60 г. до н. э.], с. 25).
Через двести лет Альберт Эйнштейн привел аналогичный аргумент в пользу существования атомов. Только он превзошел Лукреция и сформулировал математическое обоснование, позволившее ему точно описать, какими будут траектории движения частицы, если ее судорожные движения и вибрации действительно вызваны столкновениями с еще более мелкими частицами. В течение последующих шести лет французский физик Жан Батист Перрен разработал экспериментальный метод слежения за частицами, свободно плавающими в жидкости, обеспечивающий достаточную точность. Он подтвердил, что частицы и в самом деле движутся по траекториям, предсказанным Эйнштейном. Эксперимент убедил скептиков, что атомы действительно существуют [30] . Вклад в это дело Лукреция остался недооцененным.
30
История «атомарной теории» и ее противников начала ХХ века очень интересна и играет важную роль в современных дебатах о том, как следует понимать математические и физические теории, чтобы они представляли невидимый мир. Например, см. работы Мэдди (1997 г., 2001 г., 2007 г.), Чалмерса (2009 г., 2011 г.) и ван Фраассена (2009 г.). Хотя обсуждение этих дебатов выходит далеко за рамки предмета настоящей книги, должен заметить, что предложенные здесь аргументы относительно того, как следует воспринимать статус математических моделей в финансах, тесно связаны с дискуссиями более общего характера о статусе математических или физических теорий.
Траектории Эйнштейна являли собой образец броуновского движения, получившего название по имени шотландского ботаника Роберта Броуна [31] , который в 1826 году отметил хаотичное движение цветочной
31
Наблюдения Броуна были опубликованы в 1828 г.
32
В более общем смысле броуновское движение является примером случайного, или схоластического, процесса. Обзор математики схоластических процессов см. у Карлина и Тейлора (1975 г., 1981 г.).
В сообществе физиков и химиков Эйнштейн получил признание за математическое объяснение броуновского движения потому, что его труд 1905 года оказался в руках Перрена [33] .
Но на самом деле Эйнштейн опоздал со своим открытием на пять лет. Башелье описал математику случайных блужданий в своей диссертации еще в 1900 году. В отличие от Эйнштейна Башелье не интересовало случайное движение частичек пыли, возникающее от столкновения с атомами. Башелье интересовали случайные изменения цен на бирже.
33
Эйнштейн опубликовал в 1905 году четыре труда. Один из них был как раз тем, на который я ссылаюсь здесь (Эйнштейн, 1905b), но и три других были в равной степени незаурядными. В своей работе (1905a) Эйнштейн впервые делает предположение о том, что свет поступает дискретными пучками, которые теперь называются квантами или фотонами; в другой работе (1905c) он представляет свою особую теорию относительности; а в четвертой работе (1905d) предлагает известное уравнение e = mc^2.
Представьте себе, что пьяница добрел до своего отеля. Он выходит из лифта, перед ним длинный коридор. В одном конце коридора – номер 700; в другом конце – номер 799. Сам пьяница находится где-то посередине и не имеет представления, в какую сторону ему следует идти, чтобы попасть в свой номер. Он проходит, спотыкаясь и качаясь из стороны в сторону, полкоридора в одном направлении, затем полкоридора – в противоположном. Предположим, что каждый шаг, который делает пьяница, дает ему 50 %-ную вероятность того, что он немного приблизится к своему номеру 700, что в одном конце длинного коридора, или 50 %-ную вероятность того, что он немного приблизится к своему номеру 799 – в другом конце. Какова вероятность того, что, пройдя, скажем, сто или тысячу шагов, он окажется перед нужным номером?
Чтобы понять, как математика соотносится с финансовыми рынками, надо понять, что цена акции очень похожа на нашего пьяницу. В любой момент существует возможность того, что цена пойдет вверх, равно как и возможность того, что она пойдет вниз. Эти две возможности соответствуют действиям спотыкающегося пьяницы, бредущего к номеру 700 или 799, направляясь то в одну сторону, то в другую. Таким образом, вопрос, на который в данном случае может ответить математика, звучит следующим образом: если торги начинаются с определенной цены и эта цена совершает случайное блуждание, какова вероятность того, что она дойдет до какого-то определенного уровня через какой-то установленный промежуток времени? Другими словами, до какой двери, спотыкаясь, добредет цена через сто или тысячу разовых изменений на бирже?
Это – вопрос, на который Башелье ответил в своей диссертации. Он показал, что если цена акций совершает случайные блуждания, вероятность того, что она дойдет до какого-то установленного значения через определенный промежуток времени, будет соответствовать графику, известному сегодня как нормальная обобщенная функция (распределение Гаусса), или кривая нормального распределения (гауссова кривая) [34] . Эта кривая имеет форму колокола, закругленного в верхней части и расширяющегося книзу. Верхняя часть кривой располагается в районе стартовой цены, что означает, что, по наиболее вероятному сценарию, цена окажется где-то в районе стартовой. От центрального максимума кривая резко идет вниз, указывая на то, что существенные изменения цены менее вероятны. По мере того как цена на акции делает больше шагов случайного блуждания, кривая расширяется, становится в целом менее высокой. Это указывает на то, что со временем степень вероятности, что цена изменится по сравнению с первоначальной, повысится. В данном случае наглядное изображение просто бесценно, поэтому посмотрим на рисунок 1, чтобы понять, как это работает.
34
Подробнее о распределении вероятностей и о распределении Гаусса, в частности, см. у Каселла и Бергера (2002 г.), Биллингсли (1995 г.), Форбс и др. (2011 г.).