Физика пространства - времени
Шрифт:
Рис. 157. Диаграмма реально происходящей реакции: кроме фотона, в ней на начальной стадии должна участвовать заряженная частица с ненулевой массой покоя.
б) Рассуждения, проведённые в упражнении 93, показывают, что при пороговой реакции все её продукты двигаются совместно с одинаковыми скоростями (рис. 157). Законы сохранения тогда записываются в виде
E
фотон
+
m
=
3
E
и
p
=
E
фотон
=
3
p
.
Возводя
E
фотон
^2
+
2mE
фотон
+
m^2
–
E
фотон
^2
=
=
9(
E
^2
–
p
^2
)=
9m^2
.
Отсюда следует величина пороговой энергии, равная
E
фотон
=
4m
=
4·(1/2
Мэв
)
=
2
Мэв
.
96. Фоторождение пары двумя фотонами
Рис. 158. Диаграмма реально происходящей реакции: до реакции два фотона, после реакции — электрон-позитронная пара. Показан случай порогового рождения пары, когда электрон и позитрон неподвижны относительно друг друга.
Сначала рассмотрим пороговую реакцию, после которой возникающие электрон и позитрон не разлетаются (рис. 158; см. также упражнение 93). Запишем компоненты 4-вектора энергии-импульса до и после реакции и приравняем их:
E
+
E
=
2
E
,
p
+
p
=
2
p
.
Найдём квадрат этого 4-вектора:
(Энергия)
^2
–
(Импульс)
^2
=
=
E^2
+
2EE
+
E^2
–
p^2
–
2pp
cos
–
p^2
=
=
4
E
^2
–
4
p
^2
.
Полученное уравнение упрощается, если учесть, что разность E^2-p^2 равна 0 для фотонов и m для электронов или позитронов, а также что 1-cos =2 sin^2 1/2 . В результате найдём
E
E
sin^2
2
=
m^2
.
Выполнение этого условия соответствует тому, что реакция идёт на пределе (пороговое условие). Если слева будет стоять большая величина, то это значит, что энергии, которой два фотона обладают в системе центра масс (когда их суммарный импульс равен нулю), в принципе было бы достаточно для образования пары более массивных частиц, чем электрон и позитрон. Этот избыток энергии (величины в левой части равенства) означает также, что, если на самом деле рождается пара (e, e), то её компоненты будут находиться в относительном движении и их кинетическая энергия не будет равна нулю в системе центра масс; иначе говоря, мы будем иметь дело уже с надпороговой реакцией.
97. Аннигиляция электрон-позитронной пары
а) В системе центра масс перед аннигиляцией полный импульс равен нулю. Значит, он должен быть равен нулю и после аннигиляции. Однако одиночный фотон не может обладать нулевым импульсом. Поэтому, чтобы закон сохранения импульса не нарушался, должно быть испущено по крайней мере два фотона (рис. 159).
Рис. 159.
б) Запишем закон сохранения энергии:
E
+
m
=
E
+
E
или
E
^2
=
E
+
m
–
E
^2
.
Закон сохранения импульса ясен из рис. 160.
Рис. 160.
Воспользуемся законом косинусов
E
^2
=
E
^2
+
p^2
–
2p
E
cos
=
=
E
^2
+
E^2
–
m^2
–
2p
E
cos
.
Приравнивая друг другу два выражения для E^2 найдём
E^2
+
m^2
+
E
^2
+
2mE
–
2E
E
–
2m
E
=
=
E
^2
+
E^2
–
m^2
–
2p
E
cos
.
Отсюда следует выражение для E:
E
=
m(m+E)
E+m-p cos
=
m(2m+T)
2m+T-cos T^2+2mT
или, наконец, в единицах массы электрона m,
E
=
1
.
m
1
–
cos
1+2m/T
в) При заданной кинетической энергии сталкивающегося позитрона T максимальная энергия гамма-кванта реализуется при cos =1, т.е. =0, и равна
E