Физика пространства - времени
Шрифт:
x
приём
'=0,
t
приём
'=2
м
.
как это уже отмечено в табл. 5 и как можно непосредственно увидеть на рис. 15, б. В лабораторной системе отсчёта событие — акт приёма — происходит справа от начала координат:
x
приём
=
Положительная величина,
t
приём
=
(2
м
)
^2
+(
x
приём
)
^2
=
=
Момент
больший 2 м
,
что изображено на рис. 15, а. В системе отсчёта второй ракеты (которая летит быстрее, чем первая!) событие — акт приёма — происходит слева от начала координат (рис. 15, в).
x
приём
''
=
Отрицательная величина,
t
приём
''
=
(2
м
)
^2
+(
x
приём
''
)
^2
=
=
Момент времени,
больший 2 м
(снова!).
Различные точки, помеченные на разных диаграммах пространства-времени как акт приёма, относятся к одному и тому же событию. Событие одно, но его координаты в разных системах отсчёта различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одного и того же события? Все они удовлетворяют уравнению
Разница
во
времени
^2
–
Расстояние
в
пространстве
^2
=
(Интервал)
^2
=
=
Постоянная величина.
Но это — уравнение гиперболы. Итак, событие, изображённое на гиперболе t^2-x^2=(постоянная величина) диаграммы пространства-времени некой лаборатории или ракеты, будет изображаться также на гиперболе, описываемой тем же уравнением, диаграммы пространства-времени любой другой лаборатории или ракеты.
На диаграмме пространства-времени инвариантный интервал соответствует гиперболе
Рис. 16. Относительное расположение координатных осей, соответствующее выбору направления на север дневного, ночного и некоего третьего землемеров.
Существует ли аналогичная кривая, сопоставляющая разные значения координат, получаемые для одних и тех же ворот дневным и ночным землемерами? Координаты x и y, скажем, ворот A относительно городской площади определяются в зависимости от выбора направления на север (рис. 16). Дневной и ночной планы этих ворот изображены на рис. 17, а и б. Сделаем ещё один, третий (отличающийся от двух первых), выбор координатных осей, повёрнутых ещё больше, чем ночные оси относительно дневных. Для землемера, пользующегося этим третьим выбором координатных осей, координата x'' ворот A может оказаться отрицательной (рис. 17, в).
а) Чертёж дневного землемера.
б)
в) Чертёж третьего землемера.
Рис. 17. Координаты ворот A, измеренные соответственно дневным, ночным и третьим землемерами. Дуга окружности, изображённая на каждой схеме, описывается уравнениями
(Расстояние)
^2
=
x^2+y^2
=
x'^2+y''^2
=
x'^2+y''^2
Инвариантное расстояние соответствует окружности на диаграмме xy
Различные точки, помеченные на разных чертежах как «ворота A», относятся к одним и тем же воротам. Ворота одни, но их координаты на разных планах различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одних и тех же ворот? То, что все они удовлетворяют условию
Разность
координат
x
^2
+
Разность
координат
y
^2
=
=
(Расстояние)
^2
=
Постоянная величина.
Но это — уравнение окружности. Итак, точка, изображённая на окружности x^2+y^2=(постоянная величина) в системе координат любого землемера, будет изображаться также на окружности, описываемой тем же уравнением, в системе координат любого другого землемера.
Это — основное различие между школьной эвклидовой геометрией и реальной лоренцевой геометрией пространства-времени. В эвклидовой геометрии инвариантно расстояние между парами точек, и поэтому для всех землемеров ворота A будут изображаться где-либо на окружности (плоскости xy) с центром в городской площади. В лоренцевой геометрии инвариантен интервал между событиями, и поэтому для всех наблюдателей в лабораториях и ракетах данное событие будет изображаться где-либо на гиперболе (на диаграмме пространства-времени) по отношению к опорному событию.
В эвклидовой геометрии длина (или её квадрат) всегда положительна:
(
x)^2
+
(
y)^2
=
(
x')^2
+
(
y')^2
>=
0.
Напротив, квадрат интервала в лоренцевой геометрии
(
t)^2
–
(
x)^2
=
(
t')^2
–
(
x')^2
может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от того, какая составляющая в нем преобладает — временная или пространственная. Более того, к какому бы из этих типов ни принадлежал интервал в одной системе отсчёта, он останется того же типа и в любой другой системе отсчёта, так как величина интервала одинакова во всех системах. Значит, мы обнаружили, что в природе существует фундаментальный способ классифицировать порядок событий. Мы назовём интервал между двумя событиями временноподобным, светоподобным или пространственноподобным в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен его квадрат (см. табл. 7) 1).