Физика пространства - времени
Шрифт:
=
y'
ch r
.
(49)
21**. Преобразование направлений скоростей
Пусть частица движется со скоростью ' в плоскости x'y' в системе отсчёта ракеты, и направление её движения образует угол ' с осью x'. Найти угол, который образует направление скорости этой частицы с осью x в лабораторной системе отсчёта. (Совет: преобразовать не скорости, а смещения). Почему получаемый угол будет иным, чем найденный в упражнении 19? Сравните эти результаты в предположении, что скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта весьма велика.
22**. Эффект «прожектора»
Световая вспышка испущена под углом ' к оси x' в
cos
=
cos '+r
1+rcos '
.
(50)
Показать, что этот результат можно получить из решения предыдущего упражнения, положив в нем скорость ' равной единице. Рассмотрите затем частицу, покоящуюся в системе отсчёта ракеты и равномерно излучающую свет во всех направлениях. Рассмотрите те 50% света, которые эта частица излучает в переднюю полусферу в системе отсчёта ракеты. Примите также, что ракета движется относительно лабораторной системы отсчёта весьма быстро. Требуется показать, что в лабораторной системе отсчёта этот свет сконцентрируется в узкий конус, направленный вперёд по движению, с осью, совпадающей с направлением движения частицы. Это явление называется эффектом «прожектора».
В. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ
23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример
Пусть на поезде, движущемся со скоростью r, близкой к единице, едут три человека (A, O и B). A едет в голове поезда, O в середине, а B — в хвосте (рис. 39). На земле около железнодорожного пути стоит четвёртый человек, O'. В тот самый момент, когда O проезжает мимо O', сигналы ламп вспышек от A и B достигают O и O'. Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника, покажите, что O и O' ответят на этот вопрос по-разному. Найдя качественное решение задачи, вычислите количественно разницу между моментами времени, когда послали сигналы A и B, наблюдаемую в системе отсчёта поезда (tBA) и в системе отсчёта O' (tBA'); пользуясь преобразованием Лоренца или другим путём.
Рис. 39. Кто подал сигнал первым — путешественник A или путешественник B?
Решение. Наблюдатели A и B покоятся относительно наблюдателя O. К тому же они находятся на равных расстояниях от O, что последний может не спеша проверить, пользуясь своей линейкой. Следовательно, сигналам от A и от B требуется одно и то же время, чтобы достигнуть O. Эти сигналы принимаются наблюдателем O. одновременно. Поэтому наблюдатель O заключает, что наблюдатели A и B послали свои сигналы в один и тот же момент: tBA=0.
Наблюдатель O', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает совершенно иные выводы. Его рассуждения таковы: «Две вспышки пришли ко мне, когда середина поезда проходила мимо меня. Значит, обе эти вспышки должны быть испущены до того, как середина поезда поравнялась со мной. А до этого момента наблюдатель A был ко мне ближе, чем наблюдатель B. Поэтому свет от B должен был пройти до меня более длинный путь и затратить на это большее время, чем свет от A. Но оба сигнала поступили ко мне одновременно. Следовательно, наблюдатель B должен был послать свой сигнал раньше, чем наблюдатель A» (tBA=tB'-tA'). Итак, наблюдатель O', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает заключение, что сначала послал свои сигнал B, а потом уже', A тогда как едущий на поезде наблюдатель O заключает, что оба наблюдателя, A и B, послали сигналы в одно и то же время.
Чему равен промежуток времени между посылкой сигналов наблюдателями A и B? В нештрихованной системе отсчёта (поезд) эти сигналы были отправлены одновременно, так что t=0. Расстояние между точками посылки сигналов равно x=xBA=xB– xA=L, где L — длина поезда. Поэтому в штрихованной системе отсчёта (движущейся вправо по отношению к нештрихованной системе, то есть поезду, как это бывает обычно при использовании штрихованных и нештрихованных обозначений) промежуток времени между посылкой сигналов A и B можно найти по формулам преобразования Лоренца:
t'
=-
x sh
r
+
t ch
r
,
t'
=-
L sh
r
=-
Lr
1-r^2
.
Знак «минус» показывает, что наблюдатель B, находящийся на положительной части оси x', отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель A.
24. Загадка Эйнштейна
Когда Эйнштейн был ребёнком, он ломал голову над такой загадкой: пусть бегун смотрит на себя в зеркало, которое он держит перед собой в вытянутой руке; если он бежит почти со скоростью света, сможет ли он увидеть себя в зеркале? Разберите этот вопрос в рамках теории относительности.
25*. Парадокс шеста и сарая
Взволнованный студент пишет: «Теория относительности — наверняка недоразумение. Возьмём шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе отсчёта он оказался длиной всего 10 м. Тогда в некоторый момент этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м (рис. 40). Но рассмотрите то же самое в системе отсчёта бегуна с шестом. Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Как же можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?! Разве этот невероятный вывод не доказывает, что в основе теории относительности где-то есть противоречие?»
Рис. 40. Бегун быстро мчится с «20-метровым шестом», помещающимся в «10-метровом сарае». В следующее мгновенье он выскочит в заднюю дверь, сделанную из бумаги.
Напишите ответ взволнованному студенту, ясно и подробно объяснив в нем, как шест и сарай должны без противоречий рассматриваться в теории относительности. (Развенчайте парадокс, начертив две. диаграммы пространства-времени, соблюдая масштабы, одну на «плоскости» xt, а другую — на «плоскости» x't'. Примите, что в начале координат обеих диаграмм «событие» Q совпадает с A. На обеих диаграммах проведите мировые линии точек A, B, P и Q. Следите за соблюдением масштабов! На обеих диаграммах пометьте время (в метрах) совпадения Q и B, P и B. Для определения этого времени воспользуйтесь формулами преобразования Лоренца или иными методами).
26*. Война в космосе
Рис. 41. Два ракетных корабля пролетают мимо друг друга с огромными скоростями.
Две ракеты, обладающие равными длинами покоя, проходят мимо друг друга с релятивистским скоростями на встречных курсах. Наблюдатель O располагает в хвостовой части своей ракеты орудием, ствол которого направлен поперёк относительного движения ракет. В тот момент, когда точка a и a' поравнялись друг с другом, она стреляет из своего орудия (рис. 42). В системе отсчёта O лоренцеву сокращению подвергается пролетающая мимо ракета, так что наблюдатель O ожидает, что его снаряд не попадает в неё. Но в системе отсчёта другого наблюдателя O' лоренцевски сокращённой представляется ракета O. Поэтому в тот момент, когда точки a и a' поравнялись друг с другом, наблюдатель O' отмечает картину (рис. 43). Попадает ли на самом деле снаряд в ракету или пролетит мимо? Дайте подробный ответ, укажите некорректности в постановке задачи и ошибку в одной из диаграмм.