Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
Ответ: тупоугольный.
2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)
Рис. 127.
Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:
Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°.
Итого
Ответ:
3.
Рис. 128.
Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:
В нашем случае:
Полупериметр:
Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:
Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:
Ответ: ?5.
4. В треугольнике ABC, где ?ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2)
Рис. 129.
Решение. Воспользуемся формулой длины медианы
У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC ? BC ? cos(?АСВ) = 62+ 42– 2 ? 6 ? 4 ? cos 120° = 36 + 16–48?(-1/2) = 76.
Ответ: ?7.
5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2)
Рис. 130.
Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С.
Из прямоугольного треугольника ВМС следует:
тогда
Из ?АКС:
А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:
Ответ: AB = ?41; AC = 5.
6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)
Рис. 131.
Решение:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:
а площадь равна:
Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:
откуда
Длина большей стороны треугольника равна
Ответ:
7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2)
Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр
Расстояние между центрами окружностей:
Ответ:
8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)
Рис. 132.
Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:
1) на отрезок АВ;
2) на продолжение отрезка АВ за точку В;
3) в точку В.
По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:
Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что
Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см.
Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см.
9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3)