Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

9. Векторы

Теорема о разложении вектора по базису.

Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).

где

Рис. 107.

Теорема о скалярном произведении векторов.

Скалярное произведение векторов

равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).

ОА ? ОВ = ОА ? OB ? cos ?.

Рис. 108.

Основные формулы планиметрии

Для треугольника (рис. 109):

Рис. 109.

где a, b, с – стороны треугольника;

?, ?, ? – противолежащие им углы;

r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;

ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;

S – площадь треугольника;

– полупериметр треугольника.

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).

Рис. 110.

Для четырёхугольников:

где а, b – длины оснований;

h – высота трапеции.

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:

где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота).

Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):

Рис. 111.

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника).

Для окружности и круга (рис. 112):

Рис. 112.

и 1\2R2?,

если ? выражен в радианах.

Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Формулы аналитической планиметрии

Если даны точки A(x1; y1) и В(х2; у2), то

Уравнение прямой АВ:

легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой.

Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно

Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно

Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:

Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Вопросы для самопроверки

1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1)

б) Докажите это свойство. (1)

2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)

5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)

б) Докажите данный признак. (1)

6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)

7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)

б) Докажите эти признаки. (1)

в) Докажите обратные теоремы. (1)

8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)

9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)

10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)

б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)

11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)

б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)

12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (1)

13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (1)

14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)

15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)

б) Докажите эти свойства. (1)

16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)

б) Докажите эти признаки. (1)

17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)