Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X

фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.

На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.

Рис. 53.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).

?АОВ (угол ?) – центральный.

Рис. 54.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).

Рис. 55.

?АСВ (угол ?) – вписанный.

Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.

Дадим определение площади для простых фигур.

Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.

2.2. Вопросы для самопроверки

1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1)

2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный

отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)

3. Что такое полуплоскость? (1)

4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)

5. Какие лучи называются дополнительными? (1)

6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)

7. Какой угол называется развёрнутым? (1)

8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)

9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)

10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)

11. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым? (1)

12. Какие углы называются вертикальными? (1)

13. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых? (1)

14. Что называют перпендикуляром к прямой? Сделайте соответствующий рисунок и покажите основание перпендикуляра. (1)

15. Дайте определение биссектрисы угла. (1)

16. Какая прямая называется секущей по отношению к двум другим? (1)

17. Нарисуйте две прямые и третью – секущую по отношению к первым двум. Покажите на рисунке пары: а) внутренних односторонних; б) внутренних накрест лежащих; в) соответственных углов. (1)

18. Какие прямые называются параллельными? Как обозначается параллельность прямых? (1)

19. Что такое треугольник? Нарисуйте произвольный треугольник и укажите его вершины, стороны и углы. (1)

20. Какие фигуры называются равными? (1)

21. Какой треугольник называется равнобедренным? Нарисуйте равнобедренный треугольник, укажите его основание и боковые стороны. (1)

22. Какой треугольник называется равносторонним? (1)

23. Что такое высота треугольника? Нарисуйте прямоугольный и тупоугольный треугольники и проведите «на глазок» в каждом из них все высоты. (1)

24. Что такое биссектриса треугольника? (1)

25. Что такое медиана треугольника? (1)

26. Что такое внешний угол треугольника? (1)

27. Какой треугольник называется:

а) прямоугольным; б) остроугольным; в) тупоугольным? (1)

28. Что такое гипотенуза и катет? (1)

29. Что называют средней линией треугольника? (1)

30. Какой треугольник называется египетским? Приведите пример такого треугольника. (1)

31. Что такое окружность? (1)

32. Что такое круг? (1)

33. Что такое радиус окружности (круга)? (1)

34. Что такое хорда? (1)

35. Что такое дуга окружности? (1)

36. Что такое диаметр окружности (круга)? (1)

37. Что такое сектор круга? (1)

38. Что такое сегмент круга? (1)

39. Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (1)

40. Какая окружность называется описанной около треугольника? (1)

41. Какая окружность называется вписанной в треугольник? (1)