Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):

2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:

3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.

В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны)

под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.

Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.

1.2. Вопросы для самопроверки

1. Что изучает геометрия? (1)

2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)

3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)

4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)

5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)

6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)

7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)

8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)

9. Что такое аксиома? (1)

10. Что такое теорема? (1)

11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)

12. Что значит доказать теорему? (1)

13. Из каких частей состоит теорема? (1)

14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)

15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)

16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)

17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)

18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)

19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)

20. Как вы понимаете следующие высказывания:

а) система аксиом непротиворечива; (3)

б) система аксиом независима; (3)

в) данная система

аксиом – полная (3)?

21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)

22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)

23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)

24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)

25. Что такое аффинная система координат? (2)

26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)

27. Что такое инвариант? (3)

1.3. Темы для сообщений и рефератов

1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)

2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)

3. Особенности геометрии на сфере. (3)

4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)

5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)

6. Топологические многообразия в геометрии. (3)

§ 2. Основные понятия планиметрии

2.1. Справочная информация

На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).

Определения геометрических фигур можно дать различными способами:

1. Через род и видовое отличие.

Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.

2. Генетически (указание происхождения понятия).

Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).

Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.

4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).

Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.

5. Аксиоматически.

К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).