Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.
Рис. 56.
Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ?АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.
Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе
В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».
Свойства параллельных прямых.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
(а||с, b||с) ? а||b.
Рис. 57.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
а||b ? ? = ?
? + ? = 180°.
Рис. 58.
Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.
Рис. 59.
Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
а||b.
Рис. 60.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
а||b.
Рис. 61.
Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).
Рис. 62.
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).
Рис. 63.
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
(а ? с, b ? с) ? а||b.
Рис. 64.
Если
(а ? b, b||с) ? а ? с.
Рис. 65.
Свойство вертикальных углов.
Вертикальные углы равны (рис. 66):
? = ?.
Рис. 66.
Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
АВ = ВС ? ?А = ?С.
Рис. 67.
Теорема о сумме углов в треугольнике.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
? + ? + ? = 180°.
Рис. 68.
Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).
Рис. 69.
Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.
Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
? = ? + ?.
Рис. 70.
Теорема о величине вписанного в окружность угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):
Рис. 71.
Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).
Рис. 72.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).
Рис. 73.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).