Искусство философствования
Шрифт:
Вернемся теперь к нашему доллару, инвестированному исходя из 4% годовых. В конце года это будет 1,04 доллара. В конце второго года у вас будет 1,04 доллара плюс 4% от этой суммы; это 1,04 раза по 1,04, т. е. (1,04)2. В конце третьего года это будет (1,04)3 и т. д. Таким образом, если вы будете платить каждый год по одному доллару в течение 20 лет, то к концу этих 20 лет то, что вы заплатили, станет (1,04)20 + (1,04)19 +… + (1,04)2 + 1,04, что представляет собой геометрическую прогрессию.
Древние греки проявляли большой интерес к геометрическим прогрессиям, особенно к прогрессиям, уходящим в бесконечность. Например, 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 +…в сумме никогда не дадут 1. Так же обстоит дело и с периодическими десятичными дробями.9999… Все это создает множество загадок, на решение которых уходит очень много времени.
Античная геометрия занималась не только линиями и кругами, но также и «коническими сечениями», которые
Чуть выше я сказал, что конические сечения – это тени кругов. Если у вас есть лампа с круглым отверстием, то вы сами для себя можете сделать различного рода конические сечения. Тень отверстия лампы на потолке (если только он не кривой) будет кругом, а вот его тень на стене будет гиперболой. Если вы возьмете кусок бумаги и подержите над отверстием лампы, то, если вы держите бумагу не точно в горизонтальном положении, тенью будет эллипс; если вы наклоните бумагу еще больше, эллипс станет длиннее и тоньше; первая тень, не являющаяся эллипсом, если вы наклоните бумагу еще больше, будет параболой; а после этого она станет гиперболой. Капли в фонтане падают вниз по параболе, так же, как и камни, падающие с утеса.
С математической точки зрения, как каждый может заметить, эффект теней тот же самый, что у перспективы. Изучение свойств, общих у фигуры со всевозможными тенями, называется «проективной» геометрией. Несмотря на то, что эта разновидность геометрии значительно легче той, которой занимались греки, она была открыта гораздо позже. Одним из первых это сделал Паскаль, к сожалению, решивший, что религиозные медитации важнее математики.
Я до сих пор ничего не говорил об алгебре, которая зародилась во времена поздних александрийских греков, но в целом была разработана сначала арабами, а потом учеными в XVI и XVII вв. Алгебра кажется более сложной, чем геометрия, потому что геометрия имеет дело с конкретными видимыми фигурами, в то время как x и y в алгебре – совершенно абстрактные сущности. Но алгебра всего лишь обобщенная арифметика: когда существует некоторое суждение, истинное в отношении любого числа, то пустой тратой времени будет доказательство истинности этого суждения относительно каждого конкретного числа, поэтому мы говорим «пусть х будет любым числом» и продолжаем наше рассуждение. Предположим, например, вы заметили, что 1 + 3 = 4, что есть 22; 1 + 3 + 5 = 9, что есть У; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, что есть 42. Удивившись, вы захотите предположить, не является ли это общим правилом. В этом случае вам нужна алгебра, чтобы выразить все эти конкретные примеры в одном простом вопросе, который вы зададите самому себе: «Всегда ли сумма первых п нечетных чисел равна n2?» Когда вы сможете понять этот вопрос, то легко найдете доказательство тому, что ответом будет да. Если вы не используете букву n, то вынуждены будете использовать очень сложный язык. Вы можете сказать: «Если сложить любое количество нечетных чисел, начиная с 1 и не считая 0, то сумма будет равна квадрату числа сложенных нечетных чисел». Это суждение гораздо труднее понять. Когда же вы сформулируете более сложные вопросы, то вскоре станет практически невозможно понимать их, не используя буквы вместо фразы «любое число».
Даже проблемы, сформулированные относительно конкретных чисел, часто гораздо легче решать, используя вместо числа букву х. В юности я долго ломал голову над следующей загадкой: «Если рыба весит 5 фунтов и половину своего собственного веса, то сколько она весит?». Многие склонны ответить 7,5 фунтов. Если вы начнете рассуждение с «пусть x – вес рыбы» и продолжите «5 фунтов плюс половина x равно х», то очевидно, что 6 фунтов – это половина х, следовательно х равно 10 фунтам. Но эта проблема слишком проста, чтобы решать ее с помощью "х". Возьмем немногим более сложную задачу. Полиция преследует преступника по определенному шоссе, который выехал 10 минут
11х11=10х10+10 х2+1;
12 х 12=11 х 11+11 х 2+1;
13 х 13 = 12 х 12 + 12 х 2 + 1 и т. д.;
и в конце концов становится легко понять, что
п плюс 1 х n плюс 1 – это n x n плюс n х 2 плюс 1.
На ранних этапах преподавания алгебры этот процесс нужно повторять с каждой новой формулой.
Одна из необычных черт математики состоит в том, что несмотря на свою огромную практическую полезность, во многих деталях она предстает скорее легкомысленной игрой. Никто не сможет преуспеть в математике, если он не умеет наслаждаться игрой ради самой игры. Любая профессиональная работа выполняется хорошо только теми людьми, кто испытывает удовольствие от этой работы, не говоря о том, что эта деятельность помогает им зарабатывать на жизнь, а ее результат имеет ценность для всего мира. Никто не сможет стать хорошим математиком только для того, чтобы зарабатывать на жизнь, или только для того, чтобы стать полезным гражданином; он должен также получать своего рода удовлетворение от математики, как другие люди получают от решения шахматной задачи или задачи построения мостов. Приведу несколько примеров. Если они вас позабавят, то было бы лучше для вас посвятить некоторое время занятиям математикой; если нет, то – нет.
Помню, что в детстве я с огромным удовольствием открыл для себя формулу суммы того, что называется «арифметической прогрессией». Арифметическая прогрессия – это ряды чисел, в которых каждый член, кроме первого, больше (или меньше), чем предыдущее на определенную величину. Эта определенная величина называется «разность". Ряд 1, 3, 5, 7,… представляет собой арифметическую прогрессию, в которой разность равна 2. Ряд 2, 5, 8, 11,… – арифметическая прогрессия, в которой разность равна 3. Теперь предположим что у вас есть арифметическая прогрессия, состоящая из конечного количества членов, и вы хотите знать сумму всех членов этой прогрессии. Как это сделать?
Рассмотрим не очень сложный пример: ряд 4, 8, 12, 16,… 96, т. е. все числа, меньше 100, делятся на 4. Если вы хотите узнать сумму этих чисел, то вы можете это сделать, сложив все их по порядку. Но можно избежать этой работы с помощью небольшого наблюдения. Первое число – 4, последнее – 96; их сумма равна 100. Второе число 8, предпоследнее – 92; их сумма тоже 100. Становится очевидным, что вы можете разбить числа на пары, и каждая пара в сумме даст 100. В ряду 24 числа, следовательно 12 пар чисел, следовательно сумма всех чисел этого ряда равна 1200. Исходя из этого примера, можно предположить общее правило: чтобы найти сумму арифметической прогрессии, нужно сложить первое и последнее число, а затем умножить на 1/2 количества всех членов прогрессии. Вы можете легко убедиться, что это верно не только для четных чисел, как в приведенном выше примере, но и для нечетных чисел.
Можно также предложить и новую формулировку этой формулы для того случая, если нам неизвестно последнее число прогрессии, а известно только первое число, количество членов и разность. Рассмотрим пример. Предположим, что первое число – 5, разность – 3, и количество членов 21. Тогда последнее число равно 5 + (20 х 3), т. е. 65. Таким образом, сумма первого и последнего членов равна 70, сумма прогрессии равна 1/2 от 70, умноженной на количество членов прогрессии, т. е. 70/2 х 21. Это 35 х 21, т. е. 735. Общее правило таково: прибавь квадрат первого члена к разности, умноженной на количество членов прогрессии минус 1, а затем умножь все это на 1/2 количества членов прогрессии. Это то же самое правило, которому выше была дана иная формулировка.
Рассмотрим теперь другую проблему. Предположим, у вас есть некоторое количество цистерн, каждая из которых представляет собой идеальный куб, т. е. длина, высота и ширина этого куба равны. Предположим, что измерения первой цистерны равны 1 футу, второй – 2 футам, третьей – 3 футам и т. д. Вы хотите узнать, какое количество кубических футов бензина поместится во все эти цистерны. В первую поместится 1 кубический фут, во вторую – 8, в третью – 27, в четвертую – 64, в пятую – 125, в шестую – 216, и т. д. Таким образом, то, что вы хотите знать, представляет собой сумму кубов стольких-то чисел. Вы заметили, что