История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
Шрифт:
Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область,
К середине девятнадцатого века набралось уже очень много экспериментальных и теоретических результатов в области электричества и магнетизма. В 1780-х годах Шарль Кулон обнаружил в процессе эксперимента, что электростатическая сила, возникающая между двумя заряженными частицами, подчиняется закону обратного квадрата. Теперь ученые могли применить к электростатическим явлениям некоторые из математических моделей и методов, которые были развиты при работе с силами гравитации. В 1812 году Симон-Дени Пуассон рассматривал электростатику практически так же, как несколько десятилетий назад Лаплас решал задачи небесной механики. Он предполагал, что электричество состоит из двух жидкостей с противоположным зарядом, которые присутствуют во всех телах, где одинаково заряженные частицы отталкиваются, а разнозаряженные — притягиваются. Год спустя он получил частичное дифференциальное уравнение, которое связывает потенциал с плотностью заряда, теперь известное как «уравнение Пуассона». В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил электромагнетизм, показав, что провод, несущий ток, может заставить колебаться намагниченную иглу. Это вдохновило Андре Мари Ампера начать изучать взаимодействие между электричеством и магнетизмом, для которого он выдумал термин «электродинамика». Он показал математически, что электромагнитная сила подчиняется закону обратного квадрата, так же как и электростатическая. Открытие электромагнитной индукции Майкла Фарадея показало, что электричество и магнетизм неразрывно связаны. Но физические теории того времени не были готовы адекватно объяснить эти явления. Например, идея Ампера о наличии в эфире крошечных электрических вихрей, которые передают магнетизм, столкнулась с проблемами, подобными тем, с которыми сталкивалась вихревая модель Декарта, призванная объяснить движение планет.
В результате анализа гравитационного взаимодействия между Землей и Луной астрономам стало очевидно, что из-за размеров этих двух тел и большого расстояния между ними их больше нельзя было считать точечными массами: теперь необходимо было рассмотреть влияние всего тела планеты. Если рассматривать все из некоей точки на Земле, гравитационное влияние Луны связано и с ее объемом или массой, и с ее формой. Эти взаимосвязи между силами внутри тела и на его поверхности были математически решены как отношения между объемным интегралом и поверхностным интегралом. Эти отношения были описаны в 1828 году в теореме Грина, названной в честь Джорджа Грина, который изучал математику в Кембридже. Эта теорема, которую Грин разработал для электромагнитных потенциалов, могла также использоваться и для гравитационных потенциалов.
В 1873 году Максвелл издал свой «Трактат об электричестве и магнетизме», в котором, вслед за Фарадеем, он описал такие ключевые понятия, как электрическое и магнитное поля. Максвелл попытался избежать того, чтобы его теории стали дополнительным аргументом в спорах о существовании эфира и истинной природы пространства, использовав, по существу, принцип нисходящего анализа (от сложных элементов к простым). Его теория избегает опоры на микроскопические идеи вроде заряда или тока, тогда еще не вполне понятные, а скорее применяет макроскопический подход, допуская существование полей, которые взаимодействуют друг с другом и со средой, через которую происходит это взаимодействие. Для Максвелла пространство было упругим континуумом, благодаря чему оно могло передавать движение из точки в точку. Из-за этой эластичности сама среда могла сохранять кинетическую и потенциальную энергии. Он многократно использовал теорию потенциалов и дифференциальную геометрию, поначалу записав свои уравнения в гамильтоновской кватернионной нотации, а затем в декартовском эквиваленте. Лишь Оливер Хевисайд перевел уравнения Максвелла в векторную форму, в которой они используются и по сей день.
Успех сопутствовал теории и представлениям Максвелла не с первых дней. Дж. Дж. Томпсон обвинял Максвелла в «мистике» за его теории полей. Эти обвинения довольно сильно напоминали реакцию, которую получил Ньютон в ответ на его теорию всемирного тяготения. В этот период в описании природы пространства царил полный хаос, и многие физики приспособили уравнения Максвелла для того, чтобы подтвердить свои собственные теории. В 1861 году Максвелл вычислил, что скорость электромагнитных волн очень близка к скорости света, что вдохновило его сделать свет частью электромагнитного спектра. В 1888 году Генрих Герц экспериментально доказал теорию Максвелла путем демонстрации существования электромагнитных волн. В то же самое время эксперименты Альберта Майкельсона и Эдварда Морли показали, что если эфир и существовал, то на него не влияло никакое движение как планет, так и пучка света. Старые аргументы о действии на расстоянии исчезли перед лицом экспериментальных доказательств. Но в основном переосмысление общего понятия пространства и времени произошло в 1905 году в результате работы Альберта Эйнштейна.
Впервые уравнения Максвелла с успехом были использованы в телеграфии и радиокоммуникациях. Хевисайд преобразовал его уравнения для телеграфии, где принял во внимание самоиндуктивность в линиях передач, которая была пропущена другими исследователями. Это привело к внедрению индуктивных катушек, чтобы повышать уровень сигнала, идущего по кабелям, в особенности по трансатлантическому кабелю. В 1902 году Гульельмо Маркони сумел успешно передать радиосигналы через Атлантику. Это подарило математическим физикам проблему точного моделирования того, как именно электромагнитные волны движутся в атмосфере Земли, особенно когда приемник находится вне поля зрения передатчика. С тех пор телекоммуникационная промышленность больше никогда не оглядывалась назад.
19. Заманчивая бесконечность
Математики и философы всегда боролись с понятием бесконечности. Греки боялись бесконечности и ее противоположности — бесконечно малых величин. Их страх время от времени всплывал на поверхность, особенно это заметно в определениях дифференциального и интегрального исчислений. Наконец в девятнадцатом веке проблема встала в полный рост. Результаты работы многих умов преобразовались во множество различных направлений математики, но сражение с бесконечностью и получившаяся в результате теория множеств была работой одного человека — Георга Кантора. Стимулом к этому стали все увеличивающееся использование бесконечных рядов и сомнения в их обоснованности.
Коши отобразил фундаментальные понятия дифференциального и интегрального исчислений в терминах арифметики, а не геометрии (это называлось арифметизацией исчисления). В отличие от древнегреческой традиции, в которой геометрии предоставлялось почетное место самого точного научного метода, девятнадцатый век поставил своей целью преобразовать математический анализ в арифметические образы. Это в значительной степени достигалось путем все увеличивающегося использования функций многочисленных переменных и функций комплексных переменных, визуальное представление которых часто было невозможно.
В 1822 году Жозеф Фурье (1768–1830) издал свой классический труд «Аналитическая теория тепла». Анализируя тепловой поток, Фурье решил получающееся дифференциальное уравнение способом, который стал известным как ряд Фурье. Согласно Фурье, любая функция может быть представлена бесконечным рядом синусов и косинусов, причем не только непрерывные функции, но даже прерывные или имеющие разрывы. Однако некоторые ученые начали сомневаться, что этот бесконечный ряд всегда сходится к необходимой функции, а немецкий математик Иоганн Петер Лежён-Дирихле (1805–1859) доказал, что это происходит только при наличии определенных ограничений. Дирихле обобщил понятие функции: он заявил, что любое правило, связывающее хи у,и есть функция, — и теперь не было необходимости иметь аналитическое выражение этого соотношения или уравнение. В качестве примера Дирихле построил «дикую функцию», определяя ее следующим образом: у = а,если храциональное число, и у = b,если х— иррациональное число. Эта функция, которую сейчас математики описали бы как «патологическую», была прерывной в каждой точке и потому не могла быть нигде продифференцирована, но обсуждения сосредоточились на вопросе, можно ли ее интегрировать. Решение этой задачи потребовало определить, что именно следует считать иррациональным числом.
Галилей в своем анализе ускорения говорил, что, взяв бесконечный ряд натуральных чисел — 1, 2, 3… и возведя их в квадрат, вы получаете ряд 1,4, 9… Теперь, каждому числу из второго ряда может быть поставлено в соответствие число из первого ряда, таким образом, два ряда будут иметь одно и то же число членов. Но во втором ряду часть чисел отсутствует, так что в нем должно быть меньше элементов, чем в первом. Или две бесконечности были одинаковыми, или могут существовать различные виды бесконечности.