История с узелками
Шрифт:
Возвращая письмо, Норман был угрюм и задумчив. Отец его рискнул высказать догадку:
— Может быть, ваши друзья выиграли эту огромную сумму в карты?
— Кговджнийцы никогда не играют в карты, — сурово отверг нелепое предположение губернатор, вводя наших путешественников в ворота дворца. В полном молчании отец и сын проследовали за своим провожатым по длинному коридору и вскоре оказались в величественном зале, все стены которого были сплошь покрыты павлиньими перьями. Ее Блистательство — полная дама крохотного росточка — в мантии из зеленого шелка, сплошь усыпанной серебряными звездами, восседала в центре зала на груде алых подушек. Ее маленькая фигурка была почти незаметна. Бледное круглое лицо ее на миг озарилось отдаленным подобием улыбки, когда путешественники склонились в низком поклоне, и вновь обрело полную неподвижность восковой маски, когда она еле слышным голосом обронила несколько слов на кговджнийском диалекте.
— Ее Блистательство приветствует вас, — перевел губернатор, — и отмечает Невозмутимое Спокойствие старости и Незрелую Поспешность юности.
Тут маленькая властительница хлопнула в ладоши. Как из-под земли появилась целая армия слуг с подносами, уставленными чашечками кофе и сластями. Слуги наперебой принялись угощать путешественников, опустившихся по знаку губернатора на ковер.
— Леденцы! — пробормотал отец. — Я чувствую себя так, словно попал в кондитерскую! Попроси сладкую булочку за один пенс, Норман!
— Не так громко… — прошептал сын. — Скажем ей какой-нибудь комплимент…
Губернатор явно ожидал ответной речи.
— Мы благодарим Ее Недосягаемое Всемогущество, — дрожащим голосом начал престарелый путешественник, — чья улыбка согревает нас, подобно…
— Слова старцев слабы! — недовольно прервал его губернатор. — Пусть скажет юноша!
— Передайте ей, — воскликнул Норман в необычайном порыве красноречия, — что в присутствии Ее Многозвездного Всесокрушительства мы особенно остро
— Неплохо сказано, — одобрил губернатор и перевел речь Нормана на кговджнийский.
— А теперь я сообщу вам, — продолжал он, — что угодно Ее Блистательству потребовать от вас, прежде чем вы покинете этот дворец.
Только что закончился ежегодный конкурс на замещение должности Придворной Вязальщицы Шарфов. Вы назначаетесь судьями. Вынося свое решение, вы должны принять во внимание, насколько быстро связан шарф, насколько он легок и хорошо ли он греет. Обычно участницы конкурса расходились лишь по одному из трех пунктов. Например, в прошлом году Фифи и Гого в течение испытательного срока — недели — успели связать одинаковое количество одинаково теплых шарфов, но шарфы, связанные Фифи, оказались вдвое теплее, чем шарфы, связанные Гого, поэтому Фифи и сочли вдвое лучшей вязальщицей, чем Гого. Но в этом году — о горе мне! — рассудить, кто из вязальщиц лучше, выше человеческих сил. В конкурсе приняли участие три вязальщицы, и связанные ими шарфы отличаются по всем трем пунктам! Ее Блистательство уполномочила меня заявить, что на время разбора столь сложного казуса вы будете расквартированы — разумеется, бесплатно — в лучшей темнице и будете в изобилии получать лучший хлеб и воду.
Пожилой путешественник, услышав страшную весть, застонал.
— Все пропало! — воскликнул он в отчаянии.
Норман повел себя иначе: вытащив из кармана блокнот, он спокойно принялся записывать данные об участницах конкурса.
— Их трое: Лоло, Мими и Зузу, — сообщил губернатор. — За то время, которое требуется Мими, чтобы связать 2 шарфа, Лоло успевает связать 5 шарфов, но пока Лоло вяжет 3 шарфа, Зузу успевает связать 4 шарфа! И это не все! Шарфы, связанные Зузу, легче пуха — 5 ее шарфов весят не больше, чем один шарф, связанный Лоло, — но шарфы Мими еще легче! 5 шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу! Но и это еще не все! Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — так же, как 3 шарфа Мими!
Тут маленькая леди еще раз хлопнула в ладоши.
— Аудиенция окончена! — поспешно сказал губернатор. — Вы должны подарить Ее Блистательству прощальные комплименты и выйти из зала, не показав ей спину!
Пятиться мелким шагом — единственное, на что еще был способен турист постарше. Норман просто сказал:
— Передайте Ее Блистательству, что мы оцепенели при виде Ее Лучезарного Сверкательства и из последних сил шлем свой прощальный привет Ее Августейшей Сметанности!
— Ее Блистательство выражает свое удовлетворение, — сообщил губернатор после тщательного перевода прощального комплимента Нормана. — Она озаряет вас взглядом Своих Царственных Глаз и выражает уверенность, что вы можете поймать этот взгляд!
— Хоть эта задача нам по силам! — в отчаянии простонал старший из путешественников.
Они еще раз низко поклонились и, выйдя из зала, по винтовой лестнице спустились в Собственную Ее Блистательства Темницу, которая оказалась выложенной разноцветным мрамором, освещалась через крышу и имела великолепную, хотя и без излишней роскоши, обстановку — одну-единственную скамью из полированного малахита.
— Надеюсь, вы не станете затягивать свое решение, — сказал губернатор, вводя отца и сына в темницу с соблюдением всех правил придворного этикета. — Должен предупредить вас, что у тех несчастных, которые не слишком торопились исполнить повеления Ее Блистательства, возникали разного рода неприятности, подчас большие и серьезные. В подобных случаях Ее Блистательство действует весьма решительно. Она говорит: «Что должно быть совершено, да свершится!» — и приказывает дать еще десять тысяч ударов бамбуковыми палками сверх обычного наказания.
С этими словами губернатор покинул путешественников, и они услышали, как за дверью лязгнул засов и щелкнул замок.
— Говорил я тебе: добром это не кончится! — простонал, ломая в отчаянии руки, пожилой путешественник. В своих страданьях он забыл, что сам выбрал маршрут путешествия и никогда ничего подобного не пророчил. — О, если бы нам только благополучно разделаться с этим проклятым конкурсом!
— Не падай духом! — бодро воскликнул молодой человек. — Haec olim meminisse juwabit! [2] Вот увидишь, все будет хорошо! Слава еще увенчает нас розами!
2
«Когда-нибудь об этом будет приятно вспомнить» (лат.).
— Розами с «г» после «з»! — вот все, что мог вымолвить несчастный отец, в отчаянии раскачиваясь взад и вперед на малахитовой скамье. — С «г» после «з»! — повторил он.
Узелок VII
МЕЛКИЕ РАСХОДЫ
Раб, который еще должен платить. Какая низость!
— Тетя Математильда!
— Что, милая?
— Не могли бы вы записать расходы сразу? Если вы их сейчас не запишете, я непременно забуду.
Узелок VI
В начале года у каждого из братьев Аи Вбыло по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60 000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?
В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.
На эту задачу было получено два в высшей степени замечательных ответа. Читатель, у которого Сумбур в голове(это его псевдоним), заставил братьев занять 0 пенсов и украсть 0 пенсов, а затем приписать обе «добытые» цифры справа от 1000 фунтов. В результате столь невинной операции у братьев оказывается 100 000 фунтов, что значительно превышает те 60 000, о которых идет речь в задаче. At Spes Infracta [6]нашел еще более остроумное решение: пользуясь взятым взаймы нулем, этот читатель превращает 1, с которой начинается 1000 фунтов одного брата, в 9, прибавляет «добычу» к исходной 1000 фунтов другого брата, получая в результате 10 000 фунтов. С помощью «украденного» нуля At Spes Infractaпревращает 1 в 6 и тем самым достигает требуемой в условии задачи суммы в 60 000 фунтов.
Лоло ( Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими ( М) вяжет 2. Зузу ( З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?
Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2) Л, 3) З.
При прочих равных условиях Лпревосходит Мпо быстроте вязки в 5/ 2раза, а Зпревосходит Лв 4/ 3раза. Чтобы найти 3 числа, удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л(ибо Лнепосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, Ми Зоценивается числами 1, 2/ 3и 4/ 3.
Для оценки легкостишарфа следует иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов Зотносится к качеству шарфов Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, Ми Зполучают оценки 1/ 5, 5/ 3и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, Ми Звязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/ 4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножитьтри оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками Ми З. В итоге мы получим: 1x 1/ 5x3, 2/ 5x 5/ 3x1, 4/ 3x1x 1/ 4то есть 3/ 5, 2/ 3и 1/ 3. Умножив все три числа на 15 (отчего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9, 10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Ли, наконец, З.
Почему оценки претенденток надлежит именно перемножать, а не складывать, подробно объясняется, во многих учебниках, и я не буду занимать здесь место повторением избитых истин. Однако проиллюстрироватьнеобходимость умножения можно очень легко на примере длины, ширины и глубины. Представим себе, что два землекопа Аи Впожелали узнать, кто из них более искусен в своем ремесле. Оба копают ямы в форме прямоугольного параллелепипеда. Количество проделанной работы измеряется числом кубических футов вынутой земли. Предположим, что Авыкопал яму длиной 10, шириной 10 и глубиной 2 фута, а Ввыкопал яму длиной 6, шириной 5 и глубиной 10 футов. Объем первой ямы равен 200, а второй — 300 кубическим футам. Следовательно, Bсправляется со своим делом в 3/ 2раза лучше, чем А. А теперь попробуйте оценить по десятибалльной системе длину, ширину и глубину каждой из ям, а затем сложить оценки. Что у вас получится?
Некоторые письма, полученные в связи с узелком VI, навели меня на мысль о желательности дополнительных объяснений.
Первая задача, разумеется, не более чем шутка, основанная на игре слов. Я считал, что подобная вольность вполне допустима в серии задач, призванной не столько поучать, сколько развлекать. Однако двое моих корреспондентов, полагающих, что Аполлон должен всегда быть начеку и не ослаблять тетивы своего разящего лука, обрушились на задачку о 60 000 фунтов стерлингов с уничтожающей критикой. Кстати сказать, ни один из них не смог решить задачу, но такова уж человеческая натура.
Как-то раз (для желающих я могу назвать точную дату: 31 сентября) я встретил своего старого друга Брауна и загадал ему только что услышанную загадку. Мощным усилием своего колоссального интеллекта Браун разгадал ее. «Правильно!» — сказал я, услышав ответ. «Очень хорошая загадка, — похвалил меня Браун, — не всякий ее разгадает. Нет, что и говорить, загадка — просто прелесть!» Не успел я распрощаться с Брауном, как через несколько шагов налетел на Смита и задал ему ту же загадку. Тот на минуту наморщил лоб, а потом махнул рукой. Дрожащим голосом я робко пролепетал ответ. «Дурацкая загадка, сэр! — недовольно проворчал Смит на прощание. — Глупее не придумаешь! Удивляюсь, как вы решаетесь повторять подобную чепуху!» Тем не менее есть все основания считать, что Смит по уму не только не уступает Брауну, но и, быть может, даже превосходит его!
Вторая задача представляет собой пример на обычное тройное правило. Сущность его сводится к следующему. Результат зависит от нескольких изменяющихся параметров, которые связаны между собой так, что если бы все параметры, кроме одного, имели постоянные значения, то результат изменялся бы пропорционально параметру, оставшемуся свободным; поскольку варьируются все параметры, то результат изменяется пропорционально их произведению. Так, например, объем ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда при постоянной длине и ширине, изменяется пропорционально глубине ямы, а при переменной длине, ширине и глубине — пропорционально произведению всех трех измерений.
При иной связи результата с исходными данными тройное правило перестает действовать и задача нередко становится чрезвычайно сложной.
Приведем несколько примеров. Предположим, что на конкурсном экзамене по французскому, немецкому и итальянскому языку за право получать некую стипендию борются два кандидата: Аи В.
а. Согласно правилам, которыми руководствуется экзаменационная комиссия, результат экзамена зависит от относительногоуровня знаний кандидатов по каждому языку. Это означает, что независимо от того, получит ли Апо французскому языку 1, а В— 2 или же Аполучит 100, а В— 200, результат экзамена будет одним и тем же. Кроме того, правилами предусмотрено, что если по двум языкам оба кандидата получат одинаковые оценки, то их общие оценки должны находиться одна к другой в таком же отношении, в каком находятся оценки, полученные кандидатами по третьему языку. При этих условиях исход экзамена удовлетворяет тройному правилу. Дабы получить окончательное представление о шансах кандидатов на стипендию, мы должны перемножить 3 оценки, полученные А, и сравнить произведение с произведением очков, набранных В. Обратите внимание на то, что если Аполучит хоть один «нуль», то его итоговой оценкой также будет «нуль», даже если по двум остальным языкам он получит наивысший балл, а Ввыйдет в победители, набрав всего лишь по одному очку за каждый язык. Разумеется, Аоказывается в очень невыгодном положении, хотя решение комиссии будет абсолютно правильным с точки зрения существующих правил.
б. Результат экзамена, как и прежде, зависит от относительного уровня знаний кандидатов, но оценку по французскому языку по новым правилам при выведении общей оценки надлежит учитывать с вдвое большим весом, нежели оценки по немецкому или итальянскому языку. Поскольку такая постановка задачи необычна, я сформулирую ее еще раз несколько подробнее. Итоговая оценка по новым правилам должна быть ближе к отношению оценок за французский язык, чем в случае а, причем ближе настолько, что для получения итоговой оценки, выведенной комиссией в случае а, каждый из сомножителей, отвечающих относительному уровню знаний кандидатов по немецкому и итальянскому языкам, надлежит возвести в квадрат. Например, если относительный уровень знания кандидатами французского языка оценен в 9/ 10, а двух других языков — в 4/ 9и 1/ 9, то итоговая оценка, вычисляемая по методу а, была бы равна 2/ 45, а по методу б— 1/ 5, то есть ближе к 9/ 10, чем 2/ 45. При вычислении итоговой оценки по методу бя извлек из 4/ 9и 1/ 9квадратный корень, то есть «учел» их с вдвое меньшим весом по сравнению с оценкой за французский язык.
в. Результат экзамена должен зависеть не от относительного, а от абсолютногоуровня знаний каждого кандидата и оцениваться по сумме баллов, полученных по всем трем языкам. Здесь мы должны остановиться и уточнить правила, задав целый ряд вопросов.
1) Что принять за единицу измерения («эталон») знаний по каждому языку?
2) Должны ли все эти единицы иметь одинаковое или различное значение при выводе общей оценки за экзамен?
Обычно за «эталон» знаний принимается умение правильно ответить на все вопросы экзаменационного билета. Если эту высшую оценку принять, например, за 100, то все остальные оценки будут колебаться между 0 и 100. В предположении, что все единицы равны, мы найдем общую оценку за экзамен для Aи В, сложив баллы, полученные каждым из кандидатов за французский, немецкий и итальянский языки.
г. Условия те же, что и в случае в, но с одним изменением: оценку по французскому языку при выводе окончательной оценки надлежит засчитывать с удвоенным весом. В этом случае, прежде чем подсчитывать сумму баллов, необходимо сначала еще умножить оценку по французскому языку на 2.
д. Оценку по французскому языку при выводе итоговой оценки надлежит брать таким образом, чтобы при одинаковых оценках по немецкому и итальянскому языкам итоговая оценка совпадала с оценкой по французскому (таким образом, нуль по французскому означает, что получивший его кандидат окончательно выбывает из игры). При различных оценках по немецкому и итальянскому языкам они обе должны влиять на окончательный итог экзамена лишь в сумме, каждая — в той же мере, что и другая. В этом случае я бы сложил оценки, полученные, например, А по немецкому и итальянскому языкам, а сумму умножил на оценку по французскому языку.
Вряд ли нужно продолжать примеры: данную задачу, очевидно, можно формулировать по-разному и каждый тип условий требует своего метода решения. Задача из узелка VI по замыслу автора должна была принадлежать к классу а. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, я специально вложил в уста губернатора следующие слова: «Обычно участницы конкурса расходились лишь по одному из трех пунктов. Например, в прошлом году Фифи и Гого в течение испытательного срока — недели — успели связать одинаковое количество одинаково легких шарфов, но шарфы, связанные Фифи, оказались вдвое теплее, чем шарфы, связанные Гого, поэтому Фифи и сочли вдвое лучшей вязальщицей, чем Гого».