Измерение мира. Календари, меры длины и математика
Шрифт:
К игре относятся социальные правила и нормы, а также воображение, формулирование гипотез и вопросов вида: «а что, если…?» при анализе различных ситуаций. Все люди играют в игры — более того, часто они относятся к играм всерьез! И это означает, что игра, в высшей степени развлекательное занятие, ближе к математике, чем можно предполагать. Многие математики согласны с тем, что во время игры и при решении задачи человек действует похожим образом: он анализирует ситуацию, разрабатывает стратегии, сравнивает их, выбирает лучшую, следует ей и проверяет, приводит ли она к нужному результату.
* * *
ДОМА С КРУГЛЫМ ОСНОВАНИЕМ
Почему в самых разных странах и культурах встречаются дома с
Иглу инуитов, Канада.
Типи индейцев Великих равнин, Северная Америка.
Хижина кикуйю, Кения.
* * *
Объяснение также относится скорее к социальному, чем к физическому окружению, хотя оно и заключается в установлении связей между этими сферами. Объясняющий делится с другими членами сообщества результатами анализа окружающей среды. Без среды нет и объяснения, но объяснения нет и в том случае, если мы не испытываем необходимости поделиться с другими людьми нашими маленькими или большими открытиями. Объяснение представляет собой поиск причин, сходств и различий, взаимосвязей, а следовательно, классификацию явлений. В рассказах особое внимание с точки зрения математики привлекает обилие логических связок, которые позволяют сочетать, противопоставлять, расширять, ограничивать, уточнять и объединять высказывания. Такими же свойствами должно обладать и математическое доказательство: оно должно быть непротиворечивым, красивым и убедительным.
* * *
КОСТЬ ИШАНГО
Так называемая кость Ишанго — это малая берцовая кость бабуина с насечками, нанесенными в три ряда. Была обнаружена в 1960 году бельгийским археологом Жаном Хайнзелином де Брокуром вблизи верховья реки Нил. Люди, жившие возле современного озера Эдуард, на границе между Демократической Республикой Конго и Угандой около 200 тысяч лет назад, возможно, были первыми людьми, знающими счет. Исследования насечек и их расположения позволяют утверждать, что кость Ишанго, вероятно, описывала некую систему счисления. Насечки обозначают пары чисел, в которых одно в два раза больше другого (5,10; 4,8; 3, 6), а также последовательности нечетных чисел (19, 17, 13, 11; 9, 19, 21, 11), причем одна из них содержит простые числа от 10 до 20. Наконец, можно заметить, что суммы чисел в левом и правом рядах равны 60, в среднем — 48. Резьбу на кости пытались как-то связать с календарем. В частности, считается, что кость Ишанго могла представлять собой лунный календарь на 6 месяцев.
* * *
Понять связь измерения и счета с математикой проще всего, так как в обоих этих действиях используются числа. При взгляде на историю цифр — символов, которые применялись в разных культурах для записи чисел, — становится понятно, какие функции они выполняли у наших предков. Люди создали числа, чтобы как-то упорядочить свою деятельность. Джордж Ифра во «Всеобщей истории чисел» излагает результаты длительных исследований происхождения чисел и их смысла в самых разных культурах, нанесенных на запутанную карту человечества, а также рассказывает о развитии систем счисления с древнейших времен до наших дней.
С помощью счета, то есть сопоставления предметов и чисел, люди смогли понять и количественно описать окружающий мир. Необходимость в счете возникала в самых разных культурах и социальных группах. Люди считали дни в году, чтобы определить благоприятное время для посева, при этом они наверняка учитывали смену сезонов. Люди определяли, сколько человек живет рядом с ними, сколько родилось и сколько умерло. Они считали свое имущество и скот. Когда пастухи возвращались с пастбища, им нужно было знать, не потерялось ли какое-нибудь животное по дороге.
Необходимость подсчитывать людей, предметы и определять время возникла уже на заре цивилизации. Изначально человек не умел считать так, как мы делаем это сегодня: он различал только «один», «два» и «много». Различные исследования показывают, что мы не можем мгновенно определить разницу между числами больше 4 с первого взгляда — для этого требуется тем или иным образом произвести подсчет: поочередно пересчитать элементы рассматриваемого множества, как-то сравнить их или сгруппировать в уме.
Для того чтобы определить дату какого-либо события и сообщить ее другому человеку или чтобы подтвердить, что вечером в загон вернулось столько же коз и коров, сколько из него вышло утром, применялись различные методы.
А чтобы запомнить результаты подсчета и передать их адресату, человеку потребовался язык, в котором цифры имели бы свои названия. Все основные образы, связанные с числами, человек заимствует в природе. Так, крылья птицы символизируют пару, лепестки клевера — 3, лапы животного — 4, пальцы руки — 5 и так далее. Есть и другие взаимосвязи, позволяющие последовательно прийти к таким абстрактным понятиям, как число и счет.
Обычно человек начинает считать на пальцах рук, поэтому большинство современных систем счисления десятичные. В некоторых культурах использовались системы счисления по основанию 12 — возможно, с их помощью было удобнее делить, так как 12 имеет больше делителей, чем 10. Майя, ацтеки, кельты и баски использовали при счете пальцы ног, поэтому их система счисления имела основание 20. Шумеры, создатели древнейшей из известных нам форм письменности, и вавилоняне, создатели нуля, разработали шестидесятеричную систему, которую мы используем и сегодня, когда делим часы на минуты и секунды, круг — на 360 градусов, градус — на 60 минут, минуту — на 60 секунд.
Многочисленные кости животных с вертикальными насечками и зарубками, найденные во время раскопок в Западной Европе, помогают понять, как считали наши предки. Эти зарубки являются истоками римской системы записи цифр. Также есть немало подтверждений тому, что все народы Земли на том или ином этапе своей истории использовали счет на пальцах рук. Египтяне, римляне, арабы и персы (не будем забывать и о христианских народах средневековой Европы) при помощи фаланг и суставов на пальцах рук, применяя жесты, подобные жестам из языка глухонемых, могли считать от 1 до 9999. Китайцы пошли еще дальше: они создали систему, позволявшую считать до ста тысяч на пальцах одной руки и до десяти миллиардов — на пальцах двух рук.